从“学会”到“会学”——以《三位数乘两位数》教学为例

钟 立

学会和会学，虽然仅仅是字序颠倒，但对于学生的学习结果以及学习的过程来说，意义和价值是不一样的。学会，简单地说就是学生通过各种方式的学习获得知识或掌握技能，侧重的是知识的获得，即知识的增量有多大。而会学，关注的是知识获得的过程，是指学生主动参与学习，发现知识，建构知识。陶行知先生曾经说过：“我以为好的先生不是教书，不是教学生，乃是教学生学。”这一精辟的见解深刻地揭示了教师的责任不仅在于使学生“学会”，更重要的是让学生“会学”。

三位数乘两位数的计算方法与两位数乘两位数的计算方法，在算理和算法上都是一致的，不同的仅仅是一个因数由两位数变成了三位数。所以，学习三位数乘两位数应建立在学生已有知识经验基础上，让学生独立探索，将两位数乘两位数的方法自主迁移到三位数乘两位数中，进而概括出多位数乘两位数的一般计算方法。

学生在计算三位数乘两位数时，会基于各自经验，探索出不同计算方法，既可以采用横式计算，也可以采用竖式计算。另一方面，整数笔算乘法，都是用一个因数个位上的数乘另一个因数，再用十位上的数乘另一个因数……以此类推，再把乘得的积相加。遵循这样的方法，多位数的乘法总是可以进行下去，体现了算法机械化思想。机械化思想，就是解决问题时可以按照一定的程序机械地、按部就班地一步一步实施下去，经过有限步骤后就可以得到问题的解。需要特别强调的是在当今时代，算法机械化思想有着特别重要的意义，不仅可以提高计算的学习效率，而且让学生经历从问题出发，经过分析与综合，形成概念与方法，并上升到理论阶段，精炼成极少数一般性原理的过程，以这样的思维经验可进一步应用于多种多样的不同问题。

一、理解算理，探索算法

曹培英老师在《数学课程标准》核心词的实践解读中曾指出，算理与算法是构成运算能力的两翼。在计算教学中，要实现算理与算法的有机融合，让学生遵循着算理去发现算法与驾驭算法。

1．简要回顾已学知识。

师：下面有两个问题，请轻声读一读，说说你打算怎么解决？

（1）王阿姨从某城市乘火车去北京用了2小时，火车每小时行145千米，该城市到北京有多少千米？

（2）丁叔叔骑摩托车一共骑行了12小时，摩托车每小时行45千米，丁叔叔一共骑行了多少千米？

生1：（直接口算出结果）145×2=290（千米）。

生 2：45×12。

师：这两个算式分别表示什么意思？

生：第一道题求2个145千米是多少，第二道题求12个45千米是多少。

师：像这样求几个几是多少，可以用乘法解决。145×2、45×12，任选一题，算一算。

师：谁来说说这两道题是怎么算的？

生：先用因数个位上的数乘另一个因数，再用十位数上的数去乘，再把积相加就可以了。

师：看来同学们对三位数乘一位数、两位数乘两位数的知识掌握得很好。今天我们要学习三位数乘两位数，你们是想自己探索，还是老师讲你们听？

生：自己探索。

2.自主探索算理算法。

师：好。先看下面的问题：如果李叔叔从某城市乘火车去北京用了12小时，火车每小时行145千米。该城市到北京有多少千米？你打算怎样解决？

生1：可以把12拆成10加2，分别乘以145再相加。

生2：可以用竖式进行计算。

师：同学们都很会思考，说出了自己的想法。下面我们试着算一算，结果到底是多少？

生 1：145×2=290（千米），145×10=1450（千米），1450+290=1740（千米）。

师：这两位同学怎么算的，你们看懂了吗？谁来说说他们的计算有什么相同的地方？有什么不同的地方？

生：相同的都有 10×145=1450，2×145=290，290+1450=1740。不同的是一个是横式计算，另一个是竖式计算。

师：是的，无论横式计算还是竖式计算，都有 2×145=290，10×145=1450，290+1450=1740。它们都算出了相同的结果，你们有没有发现这两种算法之间有什么联系呢？

生：（指着算式）横式的第一步就是竖式计算的第一步，横式的第二步就是竖式计算的第二步，横式的第三步就是竖式计算的第三步。

师：看来你们都有一双火眼金睛，找到了它们的相同点，或者说是联系点。另外，老师想问在竖式计算时要注意什么？

生：用十位上的1乘145时，其实是用10×145，得到的积是1450。

师：所以这里的5要写在什么位上？

生：十位上。

师：看来大家都很肯定。那老师有一个疑问，为什么我没教，你们都会算了呢？

生：（随口而出）方法跟前面的一样。

师：一样吗？你理解吗？谁来说说哪里一样？

生：都是先用个位上的数去乘，再用十位数上的数去乘，再把积相加就行了。

3．纵横比较算法迁移。

师：会算没有什么了不起，更重要的挑战是要找到新旧知识间的联系。这里有两组题，你们比较一下。

师：先看第一组，45×12、145×12，这两个竖式计算有什么相同和不同？

生：都有12×45，不同的是第二个要多乘一个1。

师：要多乘哪位上的1？

生：百位上的1。

师：这里多了百位上的1，怎么乘呢？

生：也要乘12。

师：多出来的结果在哪里？

生：多了200，又多了1000，合起来是1200。

师：你能把200、1000圈出来吗？（圈出了百位上的2与千位上的1）你们想的跟他一样吗？

生：一样。

师：再看第二组：145×2、145×12，这两个竖式计算有什么相同和不同？

生：都有2×145，不同的是多了十位的1也要乘145。

师：多出来的结果在哪里？请圈出来。

生：（圈一圈）多了145，从十位上写起。

师：同学们真有办法，能用前面学过的知识解决新的问题，看来你们真的会学会用了。谁来说说三位数乘两位数可以怎么算？

生：三位数乘两位数，先用因数个位上的数乘另一个因数，再用因数十位数上的数去乘另一个因数，再把积相加。

师：这与我们前面学习的三位数乘一位数、两位数乘两位数的计算方法相比，怎么样呢？

生：一样。

二、深化认知，体验“机械化”

“所谓机械化，无非是刻板化和规格化。”这是我国著名数学家吴文俊先生对机械化思想的解释。他认为数学中的某些脑力劳动也可以机械化，即在运算与证明过程中，每前进一步后，都要有一个确定的、必须选择的下一步，这样沿着一条有规律的、刻板的道路，一直达到结论。整数笔算乘法正是体现了这一点。

1．异中有同深化认识。

师：请算一算124×36、36×124。（学生计算）

师：老师看到有些同学只算了一道题，有些同学算了两道题，你们是怎么想的？

生：124×36、36×124 只是交换了位置，结果是一样的，不用再算了。

师：是吗？你能举个例子证明吗？

生：比如，3乘2与2乘3是一样的。

师：看来与加法交换律差不多，这是我们以后要学习的乘法交换律，交换两个乘数的位置，它们的积不变。

师：那如果一定要计算36×124，怎么算？

生：先用4乘36，再用2乘36，最后用1乘36，再把积相加。

师：这位同学算的过程跟你说的一样吗？（出示竖式）

生：不对，百位上的1乘36得3600，6要写在百位上。

师：那6写在百位上，得到的积是4464，这样对了吗？

生：对了。

师：124×36与36×124相比，在计算时一个要算两步，一个要算三步，但是有相同的地方吗？

生1：相同的地方，都是要一个一个地去乘，再把积相加。

生2：乘到哪一位，积的末位就写在哪一位上。

2．构建模型感悟“机械化”。

师：今天我们学习了三位数乘两位数，在这之前我们先学习了两位数乘一位数、两位数乘两位数的计算（如下图所示），请你简单说一说它们的计算方法。

生：都是用因数个位上的数去乘另一个因数，再用因数十位上的数乘另一个因数……这样乘下去，再把所得的积相加。

师：今天学习了三位数乘两位数，接下来就不再学习整数乘法了，也就是说，三位数乘三位数，或者四位数乘两位数就不再学习了，你知道这是为什么吗？

生：因为后面的计算方法跟今天学的差不多。

师：是吗？145×132、1145×132，老师不教，你会算吗？

生：会算，还是一样的算法。

师：怎么一样呢？

生1：先用个位上的数乘被乘数，再用十位上的数乘被乘数，接着也这样，最后把乘得的积相加。

生2：都是先用第二个因数个位上的数去乘第一个因数，再用……最后把几次乘得的积相加。

师：同学们说得非常好，你们都会学习了！确实就像你们所说的那样，只要一直这样算，就能算出结果。

三、点滴思考

运算教学的核心是在理解算理的基础上掌握算法。本质上，三位数乘两位数与之前学习的三位数乘一位数或两位数乘两位数的算理是一致的，算法也是相同的。基于这样的知识基础与内容特点，本课的教学体现了两个主要的想法：一是教学目标的定位上，在使学生学会知识与掌握技能的同时，让学生学会学习与感悟数学思想；二是教学的组织方式上，通过引导学生独立思考、自主探索、合作交流等多种学习方式，激发学习数学的兴趣，引导学生把握数学内容的本质。通过以上两个途径，把数学核心素养落实于具体的教学活动中。