如何理解“运算顺序的数学规定”并展开教学

管小冬

“整数四则混合运算”是在学生掌握整数四则运算的基础上，解决综合算式中运算顺序的问题。教材安排这部分内容的学习，一方面是因为解决问题时，由分步走向综合，是思维发展的必然追求。列综合算式既简化了计算过程，提高计算效率，又进一步促进了学生分析与综合能力的提高。另一方面，综合算式的出现，也推动着我们进一步展开对运算律的研究，进而又促进了运算能力的提升。

然而，实际教学中，学生对“先乘除、后加减”这一运算顺序的未教先知，教师对运算顺序这一数学规定的粗浅理解，往往使不少教师忽视、淡化对这一教学内容的思考与设计。那么，如何深入理解“运算顺序的数学规定”并据此展开教学呢？以下是我在观摩、学习后的一些粗浅想法，供大家参考。

【教学】

一位教师执教苏教版三年级下册《混合运算》一课。

课始，教师出示两道混合运算：1．34-18+52；2．12×6÷9。

学生计算后，教师总结：加、减是低级运算，乘、除是高级运算。在只含有同一级运算的算式中，要从左往右依次计算。

教师继续出示：20+5×3。

师：这道题又该怎么算呢？

生：先算乘法，再算加法。

师：有不同意见吗？（学生都表示没有）也就是在一道算式中，如果既有加法，又有乘法，要先算（乘法），再算（加法）。咦，你们是怎么知道的？

生：爸爸妈妈告诉我的。

生：从书上看到的。

……

师：你们真善于学习！不过，我们学习计算，最终目的是为了解决实际问题。下面，让我们借助实际问题来看看，为什么先算乘法再算加法。

教师出示教材情境图：

学生根据题意列式解答，随后将分步列式合并为综合算式：5×3+20 或 20+5×3。

师：要求一共用去多少元，就要先求什么？再求什么？

生：先求3本笔记本要多少元，再求一共用去多少元。

师：也就是要先算（乘法），再算（加法）。想想，可以先算加法，后算乘法吗？

生：不可以。

师：真好！根据事理，数学中规定在既有乘法又有加法的算式中，我们要先算乘法，再算加法。

【剖析】

整数四则混合运算的计算顺序是“先乘除，后加减，有括号要先算括号里的”。教学中，我们如何引导学生理解这一看似简单的“数学规定”呢？以上教学片断恰可视为近几年中对这一问题的典型处理方式。即通过创设情境，让学生基于解决问题的需要理解为什么“先乘除，后加减”。在一次教研活动中，这样的设计就因“从数学规定的简单告知转为有意义的深度理解”而得到了不少听课者的称赞。然而，深入思考后，我以为这样的设计仍有值得推敲之处。

一、问题解决的顺序不可与运算顺序混为一谈

如上述片断中所言，“学习计算，最终目的是为了解决实际问题”。但将“先乘除，后加减”这一数学规定的原由片面地解释为解决问题的需要，显然是不太妥当的。试想，如果上述情境中，提出的问题改为“小军买3本笔记本和3个讲义夹，一共用去多少元？”而有学生的解法是：先算1本笔记本和1个讲义夹多少元，再算3本笔记本和3个讲义夹共多少元。即先算5+7=12（元），再算12×3=36（元）。那么，根据事理，此处由分步转向综合得到的算式“5+7×3”岂不是要“先加减，后乘除”？但实际上，根据运算顺序的规定，此处要“先加再乘”我们必须给加法添上括号才行。由此，我们应该明白，解决问题时，先算什么，再算什么，是由问题中数量间的关系而定，此时的先与后指向的是解决问题的步骤，而非运算顺序，两者不可混为一谈。

再者，虽然我们未必知道“历史上何时在何种情况下开始使用综合算式（混合运算）”，但这并不妨碍我们理解综合算式产生及获得广泛使用的原因。即，一方面，由分步走向综合，源于我们对现实世界数量关系认识的不断提高，更是数学简洁性表达的必然追求；另一方面，综合算式的出现，让我们将具体计算从实际问题中抽象出来，进而去研究如何使更合理简洁地进行计算成为可能。

如此，正如我们说“数学源于生活而高于生活”一样，四则运算、运算顺序及运算律等与运算相关的数学规定，也是“源于生活而高于生活”的。

二、从四则运算的意义本身去理解运算顺序的规定

那么，如何理解“先乘除，后加减”这一数学规定呢？我以为，还得回溯我们对现实世界数量关系的认识过程，回到四则运算的意义上来。

我们知道，加法是“将两个或者两个以上的数、量合起来，变成一个数、量的计算”，减法是加法的逆运算。随着认识水平的提高，在“求几个相同加数的和”时，我们又将这样的算式进行了简化，产生了乘法。作为乘法逆运算的除法也因之而生。正因为乘法是“求几个相同加数和的简便运算”，我们才规定“加减法是低级运算，乘除法是高级运算”，当“一个算式中既有乘除，又有加减时，应先乘除，后加减”。

以上述片断中的问题为例，求“3本笔记本和1个书包一共多少元？”是将3本笔记本和1个书包的钱数合起来，即5+5+5+20或20+5+5+5，而其中3个5相加又可简洁地表示为5×3，表示的是3本笔记本一共的钱数。如此算式又变为5×3+20 或者 20+5×3，都应该先乘后加。

再以笔者前面提出的问题“小军买3本笔记本和3个讲义夹，一共用去多少元？”为例，用加法表示为5+5+5+7+7+7，其中3个5相加与3个7相加分别可简洁表示为5×3与7×3，进而算式变为 5×3+7×3，同理，也是先乘后加。而随着认识的不断提高，我们又发现这个问题还可以先算“1本笔记本和1个讲义夹多少元，再算3本笔记本和3个讲义夹共多少元”，即先算5+7=12，再算 12+12+12=36，而第二步又可简洁表示为12×3。如此就又有了当这两个分步算式合并为“5+7×3”时，基于数量关系要先加后乘的需求，与之前基于运算意义规定的“先乘后加”相悖。为此，我们又引入括号改变运算顺序，既使混合运算能契合问题解决的需求，又确保了数学规定的统一性与运算结果的唯一性。如此，我们可进一步理解，乘法分配律表示成 a×c+b×c=（a+b）×c，而非反过来，正是基于认识的不断提高与数学的逐步发展。

【对策】

在深入理解“运算顺序的数学规定”的基础上，再参考《数学课程标准（2011版）》（下称《课程标准》）论及“零指数”教学方案的设计时的要求：“教学目标不仅要包括了解零指数幂的‘规定’、会进行简单计算，还要包括感受这个‘规定’的合理性，并且在这个过程中学会数学思考、感悟理性精神。”我对如何展开这部分内容的教学形成了以下几点认识。

一、问题解决是探讨运算顺序的有效载体

在四则混合运算的教学中，根据教学目标的具体要求及混合运算的具体类型创设情境，将混合运算与问题解决紧密结合是《课程标准》的具体要求。首先，综合算式的出现，是我们对问题解决过程中数学表达简洁化的必然追求。脱离实际问题而单纯讨论四则混合运算的顺序是无意义且无价值的。如，在运算顺序的规定未明确前，算式“5+7×3”是没有意义的，必须首先明确其“前身”——分步计算的算式是什么。其次，以实际问题为依托，有利于学生对运算顺序数学内涵的思考与理解。比如，本文之前“教学片断”中的购物情境，就可以契合混合运算的不同类型提出相应的问题，作为学生学习这部分内容的有力支撑。再次，尝试列综合算式来解决实际问题，也有助于学生综合与分析能力的提升及问题解决能力的提高。

二、多元表征是理解运算顺序规定的有效手段

混合运算看似简单，实则易错。究其原因，既与低年级接触到的相关试题均为从左往右依次计算，由此带来的负迁移较强有关；也与不少学生“未教先知”，从而弱化了对运算顺序规定的深层次探究与理解有关。教学中，引导学生通过多元表征，探究、思考、理解“规定”背后的道理，可进一步增进学生对运算顺序规定的理解与记忆，促进学生运算能力的不断提高。比如，解决问题时，引导学生使用图式表示问题中的数量关系，用综合法、分析法理清数量间直接或间接的联系，观察所列综合算式的计算顺序是否与问题解决的步骤一致。练习时，引导学生不忙动笔，先观察，然后在先算的部分下面划线，最后计算，以此培养学生良好的计算习惯。设计根据图式列综合算式、根据给定的综合算式编故事等类型的练习。

三、适度抽象是发展运算能力的重要过程

“运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力”。实际教学中，我们会发现，在解决实际问题时，有些学生仍停留在分步列式阶段，有些学生虽能列出综合算式，但缺乏主动寻求更为合理简洁的运算途径的意识。一方面，这与他们的认知发展水平正处于“具体运算阶段”有关；另一方面，也因为问题解决进入计算阶段时，学生的思维仍囿于具体数量关系的思考。因此，培养、发展学生适度的抽象能力，也应是混合运算教学中不容忽视的目标之一。比如，在学生立足实际问题列出算式20+5×3后，除从事理层面理解算式的含义外，进一步引导学生理解其表示的是1个20与3个5的和。从而使混合运算的算式从实际问题的事理中抽象出来，获得数理层面更为本质的意义阐释。这也将“有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。”