依托直观操作 优化认知阶梯——《有余数的除法》教学案例（二）

陈双双

【教学过程】

一、复习导入，激活思考

1.联接旧知：同学们，今天老师和大家一起来学习新的数学知识。首先请大家看黑板上的算式，一起来读一读。（学生齐读：8÷4=2）你能清楚地说一说每个数在除法算式中的名称吗？

2.模型应用：想一想生活中的哪些问题可以用“8÷4=2”这道算式来解决？

【思考：齐读算式能让学生获得强烈的情感体验，增强学好数学的信心，为后续课堂活动的顺利开展做情感铺垫。依托学生表内除法的学习经验，开门见山，可以帮助学生梳理除法算式中各部分的名称，并初步感知其中蕴含的模型思想。】

二、解决问题，感知余数的产生

1.谈话切入：看样子，同学们对除法的知识掌握得不错。今天这节课，我们就继续来学习除法。刚才同学们举了很多分东西的例子，老师也带来了一个。（课件呈现：用小棒摆正方形、杂乱的9根小棒）从大屏幕上，你知道了哪些数学信息？要解决什么数学问题呢？

2.自主尝试：原来，简简单单的一幅图能告诉我们这么多信息。请同学们拿出学案，用自己喜欢的方式来解决问题，可以摆一摆、画一画或算一算。

【思考：通过直观操作，能使抽象的数学知识变得简单明了，让学生由被动接受知识转向主动探究知识。同时，学生通过直观操作能够体会到“平均分有剩余”的情况，初步感受余数产生的必要性，获得对余数初步的感性认识和直接体验。】

3.交流展示：现在，请几位同学与大家分享一下自己的想法。（选取了几幅具有代表性的学生作品，请学生介绍）

4.反馈聚焦：同学们可真能干，这么短的时间内就想出这么多有意思的作品！老师发现，无论是画图，还是列算式，这些作品里都隐藏着一些相同的数，比如说9，你们发现了吗？9在这里表示什么？（9根小棒）你还能发现其他相同的数吗？它表示什么呢？（板书：9、4、2、1，并明确各数所表示的含义，特别强调“1”的含义，借此引出“余数”的概念）

【思考：教师沟通不同作品之间的关系，引导学生从“变”中寻求“不变”，让学生明白不同作品虽然表达形式不同，但是表示的结果是相同的。这也为后续“有余数的除法”算式的引出做好了铺垫。】

三、深入体验，理解余数的意义

1.算式表征，揭示意义。

（1）符号表征：像这种分完后有剩余的情况，数学家们习惯用这样的算式来表示（把板书补充完整）。看一看，和这里的哪幅作品的表示方法相同呢？还有谁是这样表示的？现在，让我们一起来读一读这道算式：9÷4=2（个）……1（根）。

（2）交流提炼：你能说说这道算式表示什么含义吗？商是几？余数是几？余数在这里表示什么意思？（完整课题：有余数的除法）

【思考：此环节中，教师借助直观操作帮助学生把困难的数学问题变得容易，把抽象的问题变得直观。通过师生对话、生生对话，进一步帮助学生理解抽象算式中各数表示的含义，初步建立有余数的除法中“形”与“式”之间的联系。】

2．变式探究，强化意义。

（1）小组合作：如果小棒的数量增加了，同样是摆正方形，你们还会摆吗？接下来，我们开展四人小组合作，请大家先听清楚要求：一要把《合作学习单》上的内容填写完整；二要在填写完整后互相说一说每道算式表示的含义。（教师给予每组学生一定数量的小棒及《合作学习单》。学生作品如下图）

（2）反馈交流：现在老师想请这个小组（指着作品1）的代表和大家分享一下想法。教师随学生汇报，适时追问：①老师有个疑问，余1、余2、余3，那我这里余4也可以啊（指着作品2），你是怎样想的？②那像这样余0呢（指着作品3），可以吗？

【思考：这一环节，重在让学生在小组合作、互动交流中进一步巩固余数及有余数的除法算式的含义，再次体会“余数”是在“平均分物”时出现剩余产生的，而“正好分完”时不会出现“余数”。这也为后续探讨余数与除数之间的关系埋下伏笔。】

四、引领想象，提炼余数的特征

1．深入研究：如果再增加1根小棒，那就有几根小棒了呢？你能快速推算出用13根小棒摆正方形的结果吗？

2．迁移列式：不摆小棒、不画图，根据上面的规律，你们能快速推算出用14、15、16根小棒摆正方形的结果吗？想一想。（引导学生脱离表象，大胆推理，交流结果）

3．观察比较：请你仔细观察这些算式，说说你发现了什么？

生：被除数一个比一个大。

生：除数都是4。

生：余数都是 1、2、3。

生：“除数减余数”的结果都是 3、2、1、3、2、1。

教师适时追问：（1） 为什么余数总是 1、2、3，而不是其他数？（2）余数和除数有什么关系呢？（3）为什么“除数减余数”结果都比0要大？（4）为什么余数一定要比除数小呢？

4．拓展延伸：想一想，我们用一堆小棒来摆五边形，如果有剩余，最多会余几根小棒？说说你的理由。那摆六边形呢？

【思考：在学生理解有余数除法的意义的基础上，借助根数不同的小棒摆图形的操作过程，教师引导学生进行有层次的思考，有效加深学生对有余数的除法意义的理解。另外，教师有意识地引导学生观察余数和除数之间的关系，以问题串的形式共同探讨发现在有余数的除法中“余数＜除数”的道理。这样既能深化学习内容，在一定程度上也渗透了“借助直观研究问题”的意识和方法。】

五、分层巩固，助力建构

1．基础练习：圈一圈，填一填。

圈了（ ）组，剩下（ ）个。

18÷5=□（组）……□（个）

□÷6=3（组）……□（个）

3．开放性练习：我知道，用一堆小棒摆（ ），最多会余（）根。

【思考：本环节教师设计了多样化的练习，旨在基础练习中帮助学生巩固新知，在提升练习中深化新知，在开放性练习中拓展思维，让不同学习水平的学生都能有所得。】

六、知识梳理，促进内化（略）

【课后反思】

本节课秉持“以学生发展为本”的教学理念，基于学生学情，以“用根数不同的小棒摆正方形”为明线，以“依托经验、借助直观、活化思维（几何直观、模型思想）”为暗线展开教学。整堂课下来，笔者再一次感受到“直观操作助推数学思考、促进概念建构、活化学生思维”的强大魅力。

在本课教学伊始，依托学生“表内除法”的学习经验，出示“8÷4=2”这道算式帮助学生梳理除法算式中各部分的名称，并渗透其中蕴含的模型思想。而后，依托学生“平均分物”的生活经验，充分发挥学生的主观能动性，教学时给予学生三组材料，引导学生在直观操作中不断深化感悟、建构经验：一是“直观操作材料”，即用自己喜欢的方式表示出用9根小棒摆正方形的结果，初步体会余数的产生，理解余数及有余数除法算式的含义；二是“应用建构材料”，即四人小组合作探究用10、11、12根摆正方形的结果，引导学生在小组合作、互动交流中进一步理解有余数除法的含义；三是“思维联想材料”，即引导学生快速推理出用13、14、15、16根摆正方形的结果。之后，又引导学生通过观察、比较、探索余数和除数之间的关系，理解余数比除数小的道理。接着，让学生快速推算用一堆小棒摆五边形、六边形最多会余几根小棒，进一步深化学生对余数的理解。最后，设计多样化的练习，力求让不同学习水平的学生在数学学习上得到不同的发展。

实践表明，直观操作能最大限度地调动学生的参与热情，促使学生于直观操作中发现规律、提炼概念、掌握方法，于交流探讨中感悟思想、内化知识、活化思维。相信这样的“以形助学”能帮助学生实现具象思维到抽象思维的转化，促使学生乐学善思！