关键能力培育，路在何方——《有余数的除法》课例解读与思考

叶 柱（特级教师）

关键能力，是近年来教育界的热词。具体到数学课程，史宁中教授认为，“抽象”“推理”“模型”三种能力是“当仁不让”的关键所在。另外，也有教授建议，可以从《数学课程标准（2011版）》（以下简称“课标”）提出的十个“课程核心概念”中选取、确立关键能力。我认为，对于一线教师来说，上述专家观点都是极富引领意义及参考价值的。而在当下，一个很重要的问题在于，当教师们基于自身的教学经验、依托专家的导向指点，认同了“关键能力有哪些”后，能否鼓起“打破教学定式、重构课堂路径”的勇气、树立“将关键能力培育落到实处”的强烈意识及实践跟进的责任心。毕竟，与世间万物相似，关键能力的培育始于“心动”、成于“行动”。基于这样的立场，当我遇见王佳颖、陈双双两位青年教师同课异构的《有余数的除法》时，颇为欣喜。或许，她们领衔的课堂现场尚不完美，但关键能力已然有了“着陆”的可能。

一、透视教材，捕捉关键能力的“潜伏点”

“有余数的除法”是人教版数学教材二年级下册第六单元的内容。例1是从“草莓摆盘”的场景中回顾“整除”经验，引出“有余”情况，初步认识“余数”。例2则通过“用不同根数小棒摆正方形”的训练，发现“余数小于除数”的规律，进一步建构“余数”的数学意义。教材编写简洁精炼、通俗明了。那么，关键能力“潜伏”在哪儿呢？

我们先看例1（如图1）。教材从“7个草莓，每2个摆一盘”的现实情境中提取出“7÷2=3（盘）……1（个）”的数学算式，其思维拐棍是“7里面包含着几个2、还多几”。这就是说，“有余数的除法”是对“均分有余”的生活问题的数学化刻画。这种刻画的本质是“抽象”，是“从现实生活或具体情境中抽象出数学问题”的体现。而这，正是“课标”对“模型思想”内涵解读的重要方面。另外，当学生看到一个有余数除法的算式，试着逆想“这个算式可能讲了一个什么故事”，便是将相对抽象的数学模型放归生活、灵动应用的体现，这也同样可以看作学生建构“模型思想”的重要经历。

图1

再来聊聊例2（如图2）。我们可以发现，得出“余数小于除数”这个结论，来自于“8÷4、9÷4、10÷4、11÷4、12÷4”这五组直观操作及算式的表征。这个过程，是一个“归纳推理”的过程。根据“课标”所述，以“归纳”“类比”为主要形态的“合情推理”和“演绎推理”，构成了逻辑推理的两大基本类型。所以，教材所编的得出结论的过程，显然蕴含着“推理能力”培育的契机。

图2

进一步解读教材，我们看到，得出结论的过程貌似“完全归纳推理”，即没有遗漏、非常完整地呈现了五个数除以4从“商是2”到“商是3”的所有余数情况，于是，由此得到“余数小于除数”的结论显得“靠谱”。但与此同时，新的疑问会产生：是不是只有除数是4的算式才存在“余数小于除数”的规律（因为上述推理过程只涉及“除数为4”），除数为其他数时有没有这个规律呢？从这个角度看，教材所设的推理过程也只是“不完全归纳推理”，且做不到“完全归纳推理”（无法将除数为任意数的情况枚举穷尽）。当然，大量事实表明，“不完全归纳推理”之所以可信，是当积累了一定数量的直观事实后，把蕴含其中的背景道理“想透彻”“想明白”“想到位”，让学生清楚“无须再举其他事实，由于某个道理，规律已能确信”，由此，学习活动便可升级为“科学归纳推理”。所以，我认为，例2教学时，需要适当补充“除数不是4”的算式，更要引导学生适时想通“为什么不存在余数等于除数、余数大于除数的情况”，由此，方能培育学生严密推理的能力与意识。

二、改造课路，夯实关键能力的“生长点”

通过前面的阐述，我以为，在“有余数的除法”教材中，“模型思想”“推理能力”是隐含其间、呼之欲出的。接下来，如何通过教学设计，将教材的“潜伏点”转化为课堂的“生长点”，以切实培育学生的模型思想、推理能力，便是核心正道。反过来看，如果能以模型思想、推理能力的培育为中心线索，打破课堂格局，刷新现场生态，也不失为教学设计“独辟蹊径”的重要参考视角。回到课例，我们非常高兴地看到，两位教师在夯实关键能力的“生长点”方面花了很多心思、做了很多努力。

1.关于“模型思想”培育。

前文中，已对模型思想的基本内涵及教材体现有所描述，此处不再赘论。在我看来，两位教师在例1教学中，充分突出三大要点，使模型思想“不露痕迹”地“浮出水面”。

（1）聚焦“模型”的生长。

教材中，为何要呈现两组“草莓摆盘”的场景？究其意图，无非是想通过草莓总数“6”到“7”的变化，来烘托其中不变的“包含除”本质，从而反映出“有余除”的思维模型是“整除”思维模型的变式与拓展，充分体现了数学模型的成长性。对于这一点，两位教师的教学组织都有生动诠释。陈双双老师从“整除”切入，让学生先由数学算式联想现实问题，再从现实问题中引出“有余除”现象。这个过程中，以现实问题为纽带，强化了“整除”“有余除”两种模型的本质关联。王佳颖老师的课也有异曲同工之妙。在“抱一抱”游戏过程中，总人数始终不变，通过“几人抱成团”（即除数）的变化，促成了“整除”与“有余除”的交替共存。另外，两位教师不约而同地舍弃了“草莓摆盘”的教材情境，变成了“小棒摆正方形”。有何好处？材料更贴近学生、更易于操作，且与例2一脉相承。这样做，显然有利于数学模型的形成、生长与建构。

（2）渗透“模型”的特性。

模型的特性是什么？简而言之，模型由“抽象”而来、该“应用”出去。王佳颖老师在课始创设“抱一抱”的游戏情境，好处在哪里？除了她在课例中讲到的“激活兴趣、促进参与”外，我觉得还有非常重要的一点是，充分展示了“生活现实——数学图式”的模型化过程。当然，学生只要浸润其中、朦胧察觉即可，不需要知道这个过程叫“抽象”，也无需明白这段历程叫“数学化”。如果学生既掌握了有余数的除法，又能亲历知识模型的形成路径，便是最为理想的目标达成。在这方面，陈双双老师做得更充分些。教学中精心创设了“数学模型——生活原型——数学模型”的过程，将模型的特性展现得淋漓尽致。我想，小学阶段如何培育“模型思想”，无非就是引导学生初步感知“模型怎样来、又怎么去”。

（3）强化“模型”的建构。

在引出“均分有余”现象后，两位教师都设计了“请学生自己试着用算式来表示分的过程”的学习任务。这一挑战性体验，有利于让每位学生充分积累基于已有经验、尝试创造模型的“初体验”。当然，学生创造出来的“原生态模型”可能并不完美，甚至是奇葩的或错误的，但蕴含其中的数学思考却是珍贵的。这种带有主体性、探究味的数学思考，最终将转化为学生扎实建构数学模型的“营养源”。在这方面，两位教师的课都可圈可点。

2.关于“推理能力”培育。

帮助学生扎实经历“余数小于除数”的发现过程，提升其意义理解的水平，对于后续学习除法运算及相关知识极为重要。在这场“归纳推理”的教学活动中，两位教师的课堂组织周到而有效。尤为值得一说的，是以下两点：

（1）“1+X”：有序丰富事实依据。

这里的“1”代表一组基本材料，“X”代表多组辅助材料。两者有机对接、充分整合，构成了学生发现“余数小于除数”的事实依据。不难发现，两位教师都选择了“9根小棒摆正方形”作为基本材料，因为数字简单，且也有些许“跳一跳摘果子”的意味。此处的教学中，两位教师都放缓节奏，围绕“9÷4=2（个）……1（根）”这个模型，既强调整体的感知把握，又重视细节的精准理解，学习效果显而易见。在此基础上，两位教师继续设置研究任务，引导学生继续创生了“10至16根小棒摆正方形”的丰富事实，且直观操作依次减少、思辨想象逐渐增加，体现了教学活动的层次性。我认为，两节课最终呈现的“1+X”的事实材料，比教材设定的丰富很多，更有利于学生顺利达成“不完全归纳”的推理目标。而后的练习中，王佳颖老师设计了“用小棒摆三角形”的任务，陈双双老师提出了“5个5个圈、6个6个圈五角星”的要求，都在引导学生及时跳出“除数是4”的认知局限，进一步扩展了研究材料的一般化水平。

（2）“X+1”：有力达成科学归纳。

这里的“X”，是指学生基于事实、归纳发现的多样化结论，视点不一，个性鲜明。这里的“1”，则表示教师为帮助学生将内在道理“想透”“悟清”而进行的适时追问与精准导拨。“X+1”的实践格局，有利于实现“不完全归纳推理”向“科学归纳推理”的升级（这一点，前文解读例2教材时有所提及）。比如，两位教师都提出了一个同样的问题：“为什么余数总是1、2、3，而不是其他数？”在此基础上，陈双双老师继续追问“为什么余数一定要比除数小呢？”王佳颖老师跟进质疑“余数可能是4或5吗？为什么？”基于前面“X”，依托此处的“1”，学生最终明白了：如果余数等于或大于4，那就又可以新搭一个完整的正方形了，这样一来，随着商的增加，余数依然只是1、2、3或没有余数。

三、重构习题，凸显关键能力的“观照点”

教学现场的习题，其价值既在于巩固提升，又在于测评反馈。如何让习题设计在关注基础知识、基本技能的基础上，让学生对“模型思想”“推理能力”的体验收获有所暴露、进而有所促进，是一个值得关注的重要问题。两位教师的练习设计，让人印象深刻。那些封闭的习题，能够加强学生对于数学模型的基本理解；而那些开放的习题，又有利于支持学生有效丰富建模、推理的过程体验。比如，陈双双老师设计了开放题（如图3）。练习中，学生能够再次经历模型完善的过程，且这个开放式的活动，也呼应了例2教学中事实梳理的整个过程。可以说，兼顾了模型思想的渗透、推理能力的培育。

图3