开放性练习，尝试用数学语言表达

孙贵合

在前两篇文章中（分别于本刊2020 年第1-2 期、第3 期所刊登），我们谈到了应用开放性练习使学生能够用数学的头脑思考世界、用数学的眼光看世界，而如何能够让学生用数学的语言表达世界，则是课堂教学中的重要任务。本节我们围绕这一主题和大家进行交流。

那么，什么是数学语言呢？数学语言可分为抽象性数学语言和直观性数学语言，包括数学概念、术语、符号、图形等。可以归结为文字语言、符号语言、图形语言三类。数学语言作为数学理论的基本构成成分，具有“高度的抽象性、严密的逻辑性、应用的广泛性”。简单而言，数学语言科学、简洁、通用。

在课堂教学中，师生之间的交流、生生之间的交流、学生自己的独立思考等，随时都在发生。但我们在听课和上课过程中发现，学生在表达自己意见时说不到位、说不清楚的现象非常明显，这是为什么呢？明明学生已经理解了，可为什么表达起来还是费劲呢？数学语言的表达应该是简单、明了的，不分国界的，世界通用的。而且能够用数学语言表达，学生学习起来也应该是轻松的，为什么我们学生的学习会越来越累呢？

究其主要原因是在课堂教学中，教师对于如何用数学语言表达，没有或很少带领学生学习和体验过。

案例一：《“1”》。

画图法，是数学语言表达的一种重要形式。画图法能够帮助学生理解数量关系、理清算法，同时也是学生思维过程的一个外显。所以学生在解决实际问题时，能够画出图是很重要的一种数学表达。特别是高年级的教师经常会遇到这样的情况：当学生解决问题时遇到困难了，教师会说“你回去自己画画图”。可是会发现一个奇怪的现象：会列式的学生会画图，不会做的学生也不会画图。为什么会出现这样的情况呢？那我们应该反思教学，在小学六年的教学中，有哪一课安排了学生学习如何画线段图呢？答案是没有。我们在课堂教学中，无数次的使用线段图，但看明白了就能画出来吗？我想是不一定的。

针对这种想法，在人教版三年级上册《归一问题》一课教学中，学生第一次接触线段图时，除了让学生学习“归一问题”之外，更重要的是让学生通过“归一问题”来学习画线段图。

环节一：

师：同学们，你们喜欢美术课还是数学课？我们今天上数学课，但数学课里面也有画，不过和美术课的画不一样。数学课上的画是看谁画得简单，而且一眼就能够看明白。

师：这句话能看明白吗？能说明白吗？那你们能画明白吗？

（学生尝试画。教师巡视发现有的学生在画小人，有的学生在画商店等等，并不是数学的画）

师：同学们想一想，我们数学的画，重要的是哪两点？

生：简单还能让人一眼就看明白。

师：可有的同学还在画小人、商店，你们有没有简单的画法？

生：可以用文字或图形。

师：我们一起来欣赏这位同学的作品。你们能看明白吗？

生：明白了，它的一个长方形就表示一个笔记本。

师：他是用长方形表示的练习本，还可以用什么表示？

生：圆形、三角形、小竖线、小横线……

师：对，这些表达方法都很简单，数学上一般用小横线来表示，我们一起看看这位同学的作品，你们能明白是什么意思吗？

生：一个小横线就表示一个笔记本。

师：我们用这样的图表示，是不是看起来更清楚？那你能根据文字表达结合我们画的图来列出算式并解答吗？

本环节的设计，首先，在学生初次接触线段图时让学生感受线段图是怎样产生的。即用图去描述问题中所表达的情境，选择重要的信息表示在图上，从而让学生对画线段图减少心理恐惧，为自己能够画出线段图做好心理铺垫。其次，通过学生用自己创造性的表达，逐步抽象出线段图的过程，使学生明白：线段图只是一种表达形式，比长方形、圆形等表达起来更简洁，从而真正理解线段图的作用。第三，让学生感受画线段图并不难，只是把数学信息依次用图形表示出来，也就是如何画线段图。经历这样的体验过程，学生才能够真正从心理上、知识体系上、方法上掌握画线段图。

环节二：

师：同学们，你们还有其他方法解决这个问题吗？

生：6÷2=3，3×10=30（元）。

师：你们明白他的意思吗？

生：不明白。

师：看来用语言解释起来很麻烦，而且大家还不了解，那是不是可以考虑让线段图来帮一下我们呢？

生：我明白了，就是把两本算成一份，看小明有这样的几份。

师：那刚才你们不明白，现在明白了，应该感谢谁？

生：线段图。

师：想对线段图说点什么？

生：线段图谢谢你，你帮我理解了原来我不理解的知识。

本环节的设计，是进一步突出线段图的作用，从而让学生从心理上接受线段图。当学生用语言描述、分析、理解不清时，线段图的作用突显出来，让学生真正感受到线段图能够帮助理解、分析和思考。当感受到价值时，学生才能够真正地接受线段图，并愿意去学、去尝试、去运用。从而慢慢学会用线段图这种数学语言去表达。

案例二：《三角形边的关系》。

“语言表达是思维的外壳”。学生能够用数学的语言表达，就一定要有数学的思考。数学思维就是用数学思考问题和解决问题的思维活动形式。而“推理”又是数学思考中很重要的一种方法。在小学阶段多以归纳推理为主，而到初中以后，才会慢慢接触到演绎推理，在小学课程中，我们是否可以考虑让学生体验演绎推理的方法。让这种“因为……所以……”“由于……因而……”“因此”“之所以……是因为……”等词语出现在课堂中。词语只是表面，更重要的是让学生有数学的思考。

在学习《三角形边的关系》一课后，我出了这样一道开放性练习：你能用今天所学习的知识，证明梯形的a、b、c 三条边的和大于d 边吗？

你能证明a+b+c＞d 吗？

你能证明a+b+c＞d 吗？

当看到这个问题时，学生很茫然，一种无从下手的感觉。在小学阶段的学习中，学生没有经历过完整的证明过程，所以更有必要在简单的问题上让学生经历、体验一次，从而积累他们的学习经验。当加入e 这条辅助线时，学生立刻明白了，并且能够用完整的语言来表达。

生：因为b+c＞e，a+e＞d，b+c已经比e 大了，所以a 再加上一个更大的数就比d 更大了，所以a+b+c＞d。

通过这样一道简单的练习题，在巩固本节课知识的同时，又让学生感受到除了观察之外，更严谨的证明方法，同时这样数学的表达是课堂中最需要的，也是学生后续发展的动力与源泉。可见在课堂中，适当为学生提供演绎推理的机会，为学生能够用数学的语言去表达起到了很大的作用。

综上，学生在课堂中不会用数学语言去表达，更多的原因在于教师没有能够给学生机会去体验、去学习、去感悟。当然除了上面所列举的用线段图表达、演绎推理的语言表达之外，还有很多方面，包括数学的概念名称等。如学生已经学习了奇数、偶数，但还在用单数、双数去表达，这时教师应该有意识地进行提示，让学生慢慢学会用标准的语言表达。数学公式的精准表达、概念定义的严密等多方面，让学生在不断运用的过程中，逐步感受到数学语言表达的科学性、简洁性与广泛性，从而慢慢喜欢上数学表达。这是一个漫长的过程，但只要教师在每一节课中都给学生机会，学生一定会喜欢上数学表达，更进一步爱上数学。