“规律”教学，让“合情推理”更丰实

管小冬

小学阶段，限于学生的知识基础和认知水平，一些数学规律、结论的发现往往要依靠“不完全归纳”得出。一次随堂听课中，一位年轻教师对《加法运算律》一课的教学处理引发了我对这部分内容的教学中“如何引导学生经历探究过程，发展推理能力”“如何在‘合情推理’的过程中发展学生的数学思考”“如何正确处理‘合情推理’与‘演绎推理’的关系”等问题的思考。

【课堂】

课始，教师呈现教材主题图（如下图），引导学生据此提出用加法计算的问题。

28 个男生跳绳

17 个女生跳绳

23 个女生踢毽子

师：求跳绳的有多少人可以怎样列式？

生：“28+17”或“17+28”。

师：虽然列式不同，但求的都是跳绳的人数，不计算你认为它们结果相等吗？

生：相等。

教师表示质疑，要求学生通过计算确认。在学生计算后，教师将两个算式用等号连接起来。

随后，学生列出两种算式求“共有多少个女生？”并通过观察、计算得出17+23=23+17。

师：观察刚才这两道等式，你有什么发现？

生：交换两个加数的位置，和不变。

师：仅靠两道算式的观察，依据还不够充分。所以这个发现暂时只能看作是我们的“猜想”。还必须进一步去验证。（板书：观察、猜想、验证）我们可以怎样验证？（学生交流）

师：仅靠几个例子的验证还不够，还需要通过更多的例子去验证。（学生分小组研究、交流）

师：有没有同学所举的例子是不相等的？（教师进而指出，刚才我们的猜想是正确的）

随后，教师在学生尝试抽象、概括的基础上，板书：a+b=b+a，并指出这就是加法交换律。

【剖析】

推理能力是《数学课程标准（2011 版）》提出的十个核心词之一。“在观察、实验、猜想、验证等活动中，发展合情推理能力”更是第二学段“数学思考”方面的重要目标。以上教学片断，似乎恰可作为当下数学教学中，教师重视培养、发展学生推理能力的一个例证。在类似的课堂中，教师郑重地板书“观察”“猜想”“验证”这几个关键词的现象也已是屡见不鲜。课后交谈中，这位年轻教师也表示《加法运算律》一课中，知识与技能方面的目标对学生而言基本没有难度，因此设计时就更偏重于“引导学生完整经历合情推理过程，积累数学活动经验，发展推理能力”这一方面。

然而，正如郑毓信教授所提醒——“我们往往在不知不觉之中将‘学生的自主探究’变成了‘假探究’。”在探究、发现、理解数学规律的过程中，如何立足学生现有的知识基础和认知水平，设计、开展相应的数学活动，使其真正感悟“观察、实验、猜想、验证”等环节的价值与意义，力避陷入“假探究”的境地，恰是我们最需要深入思考的问题所在。

剖析以上教学片断，我以为，至少有以下几方面的问题需要我们进一步深入思考。

首先，加法运算律（特别是交换律）于学生而言，有着较为丰富的现实经验。无论是一年级时学习的“一图四式”，还是后续加法学习中“交换两个加数进行验算”，以及在解决一些与加法有关的实际问题时，学生早已形成了这样的认识：对一个具体的加法算式而言，两个加数谁先谁后，并不影响计算的最终结果。德国数学家康托尔就认为“加法交换律”是不证自明的。在他构造的实数系统中，加法交换律a+b=b+a 就是一条公理。郑毓信教授也认为，“无论就教材或是实际教学活动而言，所说的‘运算律’应当说早已得到默认。”教学中，当学生在教师的要求下，就两数相加的某一具体问题列出两种算式时，于他们而言，结果相同显然是不算自明的“事实”。此时，教师质疑并要求学生计算后再确认，在他们看来，多少显得有些幼稚甚至是可笑。而鲜有学生对教师的行为提出质疑的原因，我想多半仍与教师的权威有关。

因此，我们必须思考，学生即将学习的“加法运算律”与他们“默认”的“事实”间有何不同？只有理清了这一问题，才能更好地设计并引导学生开展“真探究”的数学活动。

显然，这里我们探究的是自然数集合内的“加法运算律”，它是“通过对一些等式的观察、比较和分析而抽象、概括出来的运算规律。”“默认”的“事实”既是指学生已经具备了丰富的现实经验，也是指学生借助加法运算的意义对运算律有初步的认识与理解。所以，教学中，引导学生借助这一“默认事实”，在观察、比较、分析的基础上尝试归纳，进而以批判的眼光去思考、辨析其存在的合理性，要远比否认这一“默认事实”而要求其通过计算确认要重要的多。

其次，合情推理是小学阶段学生归纳、概括运算律以及其他一些数学规律、结论的主要方式。观察、实验、猜想、验证是学生进行合情推理的几个重要环节。但我们仍需结合具体内容进一步细化思考：怎样引导学生学会观察；如何用数学语言描述观察的结果、提出猜想；对自己或同伴的猜想，如何从多种角度去思考、辨析其正确与否；在经由合情推理获得结论的基础上，又如何让数学思考及合情推理能力获得更进一步的发展。即只有对合情推理各环节的方法、价值、意义的深度探寻，才会让教师的教与学生的学不至于落入“假探究”的境地。

回到上述“加法运算律”的教学，我们不难发现，在学生提出“交换两个加数的位置，和不变”后，教师简单化、片面化的处理，难免会让学生有“得来全不费功夫”之感，不利于严谨、求实的科学态度的培养。我们应让学生意识到，先前活动中形成的初步发现，仅是对部分具体等式观察、对比和分析后的结果，还需进一步思考、验证这一发现是否具有普适性，即“在自然数范围内，任意两个数相加，交换它们的位置，和都不变”。如此，方能将学生的思考从具体上升到抽象，从特殊走向一般，获得推理能力的更大发展。同时，验证环节中，也应让学生认识到，虽然集全班之力举出了很多例子进行验证，但两个自然数相加的算式个数是无限的，我们仍需追问“会不会存在一个交换两数位置后，和不相等的算式？”借助这样的追问，引导学生由形式上的归纳、概括转向事理、意义层面的思考，并尝试用自己的方式去说明加法运算律的合理性。在这样的过程中，进一步丰富对数学推理的认识与感悟。

【对策】

小学阶段的数学学习，在数与代数、图形与几何、统计与概率领域中，有不少数学的规律、方法、结论需要学生通过合情推理得出。一方面，这为学生推理能力的培养与发展提供了良好契机；另一方面，作为教师的我们，也应立足学生的年龄特征和认知特点，依据相应教学内容，设计、开展更契合学生发展需求的数学活动，助力学生推理能力的形成与发展。

立足以上思考，再结合自身的教学经历，我以为，具体可以从以下几个方面做起。

一、注重引导学生主动、有序地进行观察

数学家欧拉指出：“今天人们所知道的数的性质，几乎都是由观察所发现的，只有观察才能使我们知道这些性质。”这无疑道出了观察对学生数学学习的重要性。但观察并不是简单地“看”，应该伴随着主动性与目的性，是有意识、有方法地“看”。

首先，应根据教学内容、教学目标的需要，为学生提供丰富的观察材料，并有意识地将学生无序、无目的的观察引导至相应的研究内容上来。可以开门见山，直奔主题。如《三角形内角和》一课，课始即出示课题，明确后续数学活动中观察与研究的对象。也可以在学生观察角度、表述意见多样时点明方向。如《3 的倍数的特征》一课中，在学生对“百数表”中3 的倍数观察、交流的基础上，引导其关注“各位上数字之和”，使之“豁然开朗”。

其次，应该着重培养学生以“联系的观点”去观察发现。“归纳”是认识从个别上升到一般的过程。问题的提出、规律的初步发现，即是从众多个别事物都具备某一特征而推断这一类事物具备这一共同特征。“联系的观点”可以让学生跳出单一的、形式化的观察，转为从横向、纵向等多个维度去考量事物本身及相互间的联系，也有助于学生从直觉思维向理性思维的过渡。

二、注重指导学生清晰、有条理地提出“猜想”

提出“猜想”往往是实际教学中最易被忽视和简单化的环节。教师经常会在学生交流后自行梳理、呈现数学的“结论”，再谓之为“猜想”，进而带领学生快速进入“验证”环节。小学数学中，“猜想”往往都是经过证明为真的数学结论是导致这一现象的原因之一。然而，正如爱因斯坦强调“提出一个问题往往比解决一个问题更重要”，“猜想”的提出过程正是培养学生自信、大胆表达，让思维由内隐走向外显，由直观走向理性的最佳契机。

首先，应引导、鼓励学生将观察结果外化为自己的语言表述。即使是那些不全面、不准确，甚至在教师看来是错误的想法，对学生而言，都是弥足珍贵的。切不可因其缺乏与“结论”足够的“近似”，甚至是相左，而弃之不理。要置身儿童立场，理解、接纳、欣赏其中的闪光点。因为这是他们走向“发现”最重要的一步。

其次，在学生尝试提出自己的猜想后，可以引导其在相互交流、学习的基础上，从猜想的适用范围、表述的准确性等方面作出优化。应特别注意的是，即使是“错误”的猜想，仍应经过“证误”的过程，而不是在此环节中轻易否定。因为“错误常常是我们走向真理的向导”。

三、注重引导学生全面、理性地开展“验证”

“验证”是开展合情推理的重要环节。小学阶段，不完全归纳法是学生进行合情推理的主要方式。因为合情推理得到的结论具有一定的或然性，这要求教师引导学生全面、理性地开展“验证”活动，充分感受“验证”在合情推理过程中的意义与价值。

1.注重分类思想的运用。

虽然合情推理中的“验证”大多不能遍历全部对象，但仍应注意引导学生运用“分类”思想，使例证尽可能全面、丰富，进而让得到的结论更具可靠性。如教学“三角形的内角和”，验证时可将三角形分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三类进行，由每一类三角形的内角和都是180 度，再得出“三角形内角和是180 度”这一结论。

2.注重反例在验证中的价值。

教学中，应引导学生感悟合情推理结论的成立需要从正、反两面进行验证。有时，虽然能找出大量正面的例子，但一旦找到一个反例，即可证明结论不成立。学生有意识地找寻反例，有助于其思维全面性和批判性的初步形成。如在“字母表示数”的学习中，有学生会归纳出“a2＞2a”这一结论。此时，可以引导学生从反面去寻找“是否存在a2≤2a”的例子，进而感受“合情推理结论的或然性”。

3.注重“验证”后的“合理性”解释。

合情推理“结论的正确性需要演绎推理的确认”。虽然小学阶段对“演绎推理”没有提出具体的要求，但我们仍应重视引导学生“验证”后的进一步思考，从事理上为结论的成立寻求更具“合理性”的解释。如教学“3 的倍数特征”，在归纳得出“3 的倍数各位上数字之和都是3 的倍数”这一特征后，教师借助计数器、方格图，引导学生继续思考、理解“为什么各位数字之和是3 的倍数，这个数就一定是3 的倍数”。如此，既可进一步深化对知识的理解，又为学生演绎推理能力的发展奠定了基础。

以上是我对“规律”教学中，如何有效促进学生推理能力的形成与发展的几点初步思考。“推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。”合情推理更是小学阶段学生探究、发现数学结论的主要方式，我们仍应不断思考、实践。