让学生在经历和体验中理解数学概念——对“圆的半径”概念教学的三次尝试

康 黎

《圆的认识》一课很多教师都上过公开课，大家都很熟悉。近期，我也上了这节课，感悟颇多。“圆的半径”这一概念作为本课的教学重点该如何让学生认识、体会、最终达到理解的程度是我在备课和授课过程中重点思考的问题。为达到理想效果，我对这一知识点的教学进行了三次尝试。

备课前，我仔细地研读了文本，领悟到“圆的半径”概念的核心问题是学生对定点、定长的理解，而在学习方法上，观察、比较、求同存异是几何图形概念教学中重要的学习方法，基于以上的基本理念和想法，我进行了第一次教学。

●第一次教学：

概念教学前，学生通过学习圆规画圆的方法，体验到了要画成圆必须定下圆心（定点）和两脚间的距离（定长），此时我试图让学生通过观察、比较得到“圆的半径”的概念。

师：看了你们画的圆，现在老师也想画个圆。请你观察，老师在画的过程中，圆规两个脚之间的距离有没有变化？（教师用圆规在黑板上画圆）

生：没有变化。

师：也就是说明定长没有变化。

师：如果在圆内用一条线段来表示定长，你们觉得应该从哪一点到哪一点？能到黑板上指指吗？

生：（边指边说）可以从圆心到圆的这里（指圆边上一点）。

师：连接这两点就可以吗？

生：是。

师：（动手连接）只能连接这点吗？

生：还可以是其他的点，只要在圆上就可以。

师：很好，也就说只要通过圆心连接圆上的任何一点都可以表示这个定长。

师：这个定长在圆中叫做半径。用字母“r”来表示，谁能用一句话来描述一下什么是圆的半径？

我以为，通过我画圆、引导、学生观察以及过程中的描述，学生说出半径的定义不存在什么难度，但事实上和我想象的完全不同，学生对这个概念的描述很凌乱，也很零碎，他们似乎对这个概念并没有很好的认识，最后我好不容易把学生的描述拼凑在一起才把“圆的半径”这个概念给抠出来。

问题到底出在哪里呢？第一次的设计让我有种强烈的挫败感。课后，跟几位教师就这个问题进行了交流。能不能改变一下学生的学习方式，画出圆后让学生间先有个交流、有个碰撞，加深学生对这个概念的基本理解，之后再总结、概括出“半径”定义呢？带着这个思考，有了第二次教学（换了一个班）。

●第二次教学：

师：看了你们画的圆，现在老师也想画个圆。请你观察，老师在画的过程中，圆规两个脚之间的距离有没有变化？（教师用圆规在黑板上画圆）

生：没有变化。

师：也就是说明定长没有变化。

师：如果在圆内用一条线段来表示定长，你们觉得应该从哪一点到哪一点？能到黑板上指指吗？

生：（边指边说）可以从圆心到圆的这里（指圆边上一点）。

师：连接这两点就可以吗？

生：是。

师：（动手连接）只能连接这点吗？

生：还可以是其他的点，只要在圆上就可以。

师：很好，也就说只要通过圆心连接圆上的任何一点都可以表示这个定长。

师：这个定长在圆中叫做半径。用字母“r”来表示，谁能用一句话来描述一下什么是圆的半径？

师：先不着急举手，同桌之间先相互说说，再体会一下半径是怎么画出来的！

其实前面的过程没有变化，这次教师只多了一句话——“先交流，体会”，这就把原来的个体回答，变成了合作交流。多了一个体会的过程，这次效果比第一次好多了，部分学生很快准确描述出半径的定义，其余学生也能在这些学生的带领下复述出半径的概念，教学看起来顺利多了。但我感觉还是不够理想，按理说这个概念不难，都是描述性的语言，为什么教学就没有想象中顺畅？学生交流后就真的理解吗？能说出来的东西就是他们自己的吗？

“没有问题处找问题，才能引发深入地思考”，我想知道的是：学生到底是自己总结出来的，还是根据其他学生的提示才得出的结论？课后我又找了一些学生来问，通过了解我知道，由于多了合作交流环节，有一部分学生是听了其他学生的说法后背下来的，还有些学生是自己看了教材后说出来的。虽然课上完了，直播也播出去了，但对“圆的半径”概念的教学在我心里始终还是有疑惑——怎么能让大多数的学生真正能从理解的层面说得出、道得明呢？

一个到我办公室还圆规的学生启发了我。这个学生还圆规的时候，我问了一句：“学会用圆规画圆的方法了吧？”“学会了。”他顺手在我办公桌的报纸上画了一个圆，说“我自己会画，肯定就能说出来。”一语点醒梦中人。

我还是决定再试一次，于是有了第三次的教学（又换了一个班）。

●第三次教学：

师：现在老师请同学们再画一次圆，体会在画的过程中，圆规两脚有没有变化。（学生画圆）

生：圆规两脚间距离不能变。

师：如果在圆内画一条线段来表示这两脚间的距离，你能把这条线段画出来吗？请同学们在自己画的圆上试一试。（学生尝试）

师：能说说你是怎么画的吗？

生：我连接了圆心和圆上一点。

师：在小组里比较一下你们画出的线段，看看有什么发现？

生：虽然不一样，但都经过了圆心。经过圆心连接了圆上不同的点。我画了两条，发现都一样长……

师：经过圆心连接了圆上不同的点。连接后又一样长说明什么？

生：说明连接圆心到圆上的任何一点都可以。

师：这条线段就是圆的半径。能用一句话描述出什么是圆的半径吗？

这次效果显然好多了，大多数学生能较清晰、准确地说出半径的概念，少数学生的问题也限于用词不够准确。应该说基本上达到我设计的预想：让大多数的学生真正能从理解的层面说得出、道得明“圆的半径”的概念。

【反思】

在概念教学中要引导学生经历和体验。三次教学设计，三种不同的效果，让我反思自己的教学行为，反思学生的学习方式。

对比三次教学中教师和学生在课堂中的行为。

行为第1次第2次教师 画圆 画半径 提问半径概念学生 观察 看教师画半径 个体回答教师 画圆 画半径 提问半径概念学生 观察 看教师画半径 合作交流，得出概念第3次教师 提要求 进一步引导 抛出问题，适时点拨学生 画圆 画半径 相互对比，寻找异同，得出概念

从表格中教师与学生的行为变化我们不难发现：前两次画圆、画半径等主要操作部分都由教师完成，学生只是在被动接受，配合教师进行简单的对话。确切地说，在前两次的动手活动中教师是活动的主体，对概念体会最深刻的，当然也应该是教师，而不是学生。我想，这也是前两次教学效果不太理想的主要原因。第二次教学虽然改变了学生的学习方式，但学生没有自我体验的过程，使得交流停在了完善语言表达的层面，没有对思维有真正的触动。而第三次教学中，操作部分全部由学生来完成，他们在动手实践的过程中真切体验了“定点”“定长”“圆上一点”“圆上任意一点”，之后在对比异同和交流中又进一步理解了圆上任意一点与圆心间距离都相等，可以说对概念的理解是在学生自我经历和体验中逐步建构起来的。这样的三次尝试让我深深体会到：教学中，教师必须让全体学生参与和经历知识发现、探索的过程，使他们在探索数学的过程中“知其然”，更“知其所以然”。

俗话说“绝知此事要躬行”。动手实践让学生对概念的理解进行了内化。也许第三次教学还不是概念教学的最佳方式，但从三次教学的比较中，我还是深刻地体会到：有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，要让学生动手参与、亲身体验，学生才能有话可说，才能有话会说，能说会说，道理也才自然而现！教师要尊重学生的意愿，尊重学生的学路。

英国的数学教材中有这样的一句话是写给教师的：学生用什么样的方式解决问题是学生自己的事情。学生采用的方法对他自己来说就是最好的方法！而小学生最擅长的就是动手，最喜欢的也是动手，让学生在动手操作中自主活动、自由表达、主动建构，第三种教学方式刚好迎合了学生的这种需求，效果自然就出现了！数学概念是经过观察、质疑、对比、验证后抽象出来的语言描述，把概念的文字描述背诵下来对小学生来讲不难，但观察、质疑、对比、验证的过程一定要让学生亲身参与其中才有可能引发理解和思考，才能真正让概念清晰地在学生头脑中构建起来！

皮亚杰说过：“儿童的思维是从动作开始的，切断动作与思维的联系，思维就不能得到发展。”学生的思维只有在动手、动脑的过程中才能得到发展。