如何破解一元二次方程“整数根”问题

吉思春

对于一般的一元二次方程 ax2+ bx + c =0（a ≠0）的实根情况，只需要验证根的判别式“?= b2-4ac ”的值即可，但是对于含有参数的一元二次方程，要判断它是否有整数根，或者通过根的情况确定参数的值，就没有统一的办法了，需要根据具体情况具体分析.一元二次方程“整数根”问题涉及一元二次方程根的性质、整数的性质等多个知识点，其解法灵活多样，技巧性较强.对此，笔者总结了一元二次方程“整数根”问题的几种求解策略，以帮助同学们破解此类问题.

一、巧用因式分解法

因式分解是解一元二次方程的常用方法.在解含参一元二次方程的整数根问题时，当方程式能够直接分解因式或者适当变形后可以分解因式时，可以将原方程转化为（m1 x +n1）（m2 x + n2）=0的形式，求出两根，消去两根中表示已知量的字母参数，得到关于两根的不定方程，通过解不定方程就能确定方程的整数解.

评注：利用因式分解法破解整数根问题的关键点就是准确变形和分解因式.当不能确定参数是否为整数时可先将根求出，然后消去参数，得到一个关于整数根的不定方程，求出方程的整数根后再求参数的值.

二、妙用根与系数的关系

在一元二次方程的根的判别式△≥0 的情况下，可利用根与系数的关系，即：若关于 x的一元二次方程 ax2 + bx + c（a ≠ 0） 的两根为x1 ，x2 ，则有 x1 + x2 =- ba ， x1 x2 = ca ，得到一个关于 x1，x2 的不定方程，然后进行消参，解得方程的根，再代入到原方程进行验证，求出符合题目要求的参数即可.

评注：解答本题的重难点在于构建出不定方程组之后的消参环节.如不能直接利用方程组的加减消参，就要联想到运用配方法进行消参，巧妙地将问题化繁为简，变难为易.

三、善用根的判別式

运用根的判别式是解答一元二次方程整数根问题的重要策略.在确定方程有整数根时，方程的根的判别式必然是一个完全平方数，此时当判别式是一次式时可利用判别式大于或等于 0 的性质确定参数的范围，再结合题目要求和条件求得参数;当判别式是二次式时，可根据判别式为一个完全平方式，建立一个关于参数的不定方程，然后利用平方数的性质和解不定方程等手段求出参数的值.需注意的是，最后要加以验证.

评注：本解法的最后一步——检验是一个必不可少的步骤.因为一元二次方程的判别式是完全平方数只是该方程有整数根的必要条件，但不是充分条件，所以必须检验方程一定有整数根.

总之，一元二次方程的“整数根”问题是中考的热门考点，具有较强的知识性和技巧性.同学们应高度重视这类问题的不同解法，认真审题，深入分析，找到解题的切入口，并灵活运用恰当的求解方法使问题准确、快速获解.