因式分解的四个技巧

李欣雅

因式分解即把一个多项式转化为几个最简整式的乘积的形式.它与整式乘法互逆，是代数中不可或缺的恒等变形方法，也是解答代数问题的有力工具.因式分解的方法有很多，同学们除了要掌握提公因式法、公式法、十字相乘法等基本方法外，还应根据多项式的具体结构特征，灵活选用一些特殊的技巧.这样不仅可使问题化难为易，化繁为简，还有助于提高同学们的数学思维能力.下面就介绍几种因式分解的巧妙方法.

一、拆项法

因式分解是多项式乘法的逆运算.在进行多项式乘法运算时，整理、化简会将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零.因此，在进行因式分解时，有些多项式就会“缺项”，如最高次数是三次，无二次项或者无一次项等，这时就需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，再用基本方法分解，问题便会迎刃而解.

点评：由此题可以看出，用拆项的方法分解因式时，要拆哪些项并无固定要求，主要是需依据对题目特点的观察，灵活变化.因此，拆项法是因式分解的诸多方法中技巧性最强的一种.

二、添项法

添项法是指在某些多项式的因式分解过程中，给多项式中先加后减相同的项，然后再考虑使用公式法或提取公因式法分解因式.

1.为运用“公式法”添项

为运用“公式法”添项，一般先将多项式中某两项的平方和凑成完全平方式 （据此可知应添加的项），然后运用平方差公式分解因式.

2.为运用“提公因式法”添项

为“提公因式法”添项，一般添加缺少的项，或将某个因式添项后，多项式的各项都含有相同的因式，这样就可以运用提公因式法分解因式.

点评：一般来说，添项后要能运用提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法分解.如果添项后不能运用这四种基本方法分解，添项也是无用的.

三、换元法

有些复杂的多项式，如果把其中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替，将含“新字母”的多项式分解因式，最后将“新字母”用原来的式子代换，得到原多项式因式分解的结果，这种方法就是换元法.因式分解中的换元有多种具体方法，如整体代换、对称代换、平均代换等.

1.整体代换

整体代换把即将要分解的多项式中的某一部分视为一个整体，并用新的变元代替它，从而将多项式简化，使之能用基本方法分解因式.

分析：若展开后再用分组分解法分解因式，则变形相当困难;若把 x2-3x 看作一个整体， 并用新变元 y 来代替它，即设 y =x2-3x ，则原式变形为 y2-2y -8，可用十字相乘法或配方法分解因式.

2.對称代换

对称代换法指的是在原多项式中，如果其中出现对称形式的代数式，可用两个字母（元）分别代换原多项式中的代数式，采用对称代换法进行换元再分解因式.

分析：直接去括号分解因式显然不可取，但以 x ，y 的和积对称式为辅助元求解，就方便简洁许多.

3.平均代换

平均代换法指的是对原代数式中存在实质联系的两部分，取它们的算术平均值，将这个算术平均值换元，以实现因式分解的目的.

例6分解因式：（x +1）4+（x +3）4-272.

分析：直接去括号太复杂，取两个括号内的常数的平均数进行均值换元，便于合并，简化运算.

点评：使用换元法的关键是选择辅助元.在选择辅助元时，要反复比较式子中重复出现的整体结构，寻找最恰当的辅助元.恰当地换元能起到减少项数，降低次数和凸显隐含因式等作用.

四、主元法

在分解含多个字母的代数式时，选取其中一个字母为主元，将其他字母看成是常数，把代数式整理成关于主元的降幂排列（或升幂排列）的多项式，然后再进行因式分解，这种分解因式的方法就是主元法.变换主元可以将多项式原来的结构重新组合，其中隐蔽的关系在新组合中就会充分暴露出来，这样有利于分解因式.

1.选取低次元作主元

在运用主元法分解因式时，如果题目中的多项式多元次数不同，可选次数较低的为主元，其余元可作为已知的常数，通过降幂达到分解因式的目的.

分析：此多项式是关于 x 的三次多项式，直接分解有一定困难，若改变视角，视次数最低的字母 a 为主元，把 x 的三次式变成关于 a的二次式，问题就简单多了.

2.次数相同时任选一元为主元

在运用主元法分解因式时，如果遇到多项式中多元（字母）次数相同的情况，可任意挑选一个元为主元，其余元作为已知的常数，重新排列组合，通过减少项数来分解因式.

分析：此多项式项数太多，难以下手，但只要将处于同等地位中的 a，b 任选一个视为“主元”，整理成关于 a（或 b）的二次三项式再分组，问题就简单多了.

点评：有些因式分解题，运用常规方法难以分解时，若能打破常规，从问题的反面思考，反客为主，往往能迅速找到分解的突破口，从而可避繁就简，收到事半功倍的效果.

上期《〈一元一次方程〉巩固练习》参考答案

1.C;2.C;3.A;4.D;5.D;6.4;7. x=;8.去分母，等式的基本性质;