例谈待定系数法在解题中的妙用

张尚琦

待定系数法是一种求未知数的数学方法.运用待定系数法解题的步骤是：先利用已知条件设一个含有待定系数的等式，然后根据恒等关系列出含待定系数的方程或者方程组，最后通过解方程（组）或者消去待定系数得到未知数的解.待定系数法在初中数学解题中的应用非常广泛，在高中数学中也会涉及，所以同学们一定要掌握好这一方法.

一、待定系数法在因式分解中的应用

因式分解的目的是依据恒等变形的原则将式子变形来方便运算.对于复杂的因式分解可以采用待定系数法.用待定系数法分解因式，先要按已知条件把原式假设成若干个因式的连乘积，这些因式中的系数可先用字母表示，它们的值是待定的，然后根据因式连乘积的展开式与原式的系数相等，建立有关待定系数的方程组，最后解方程组即可求出待定系数的值.

评注：在分解复杂多项式时，可将原式设为若干个多项式的乘积，然后展开比较其与原式的系数关系，利用两个多项式对应的系数一定相等这个结论，将因式分解问题转化为解方程组的问题，进而实现求解的目的.

二、待定系数法在求解分式方程中的应用

对于解分式方程除了用常规方法外，还可以用待定系数法.利用待定系数法解分式方程的步骤是：首先将分式方程中的某一分式拆分成几个简单的分式之和，再将分式通分，然后对比该式与原式的关系，根据等式中对应项的字母系数相等，列出关于待定系数的方程组，求出待定系数即可.注意在拆分分式时，分母含二次项，一般设分子为 Ax + B 形式;分母只含一次项，则设分子为常数.

点评：若用常规方法求解，去分母后，得到的是一个关于 x 的一元二次方程，这有可能使未知数的取值范围扩大，从而产生增根.而采用待定系数法，能够避免产生增根.

三、待定系数法在求二次函数解析式中的应用

待定系数法是求函数解析式的重要方法.利用待定系数法解二次函数解析式的步骤就是：首先根据已知条件将二次函数设为一般式、顶点式或交点式中的一种，其次依据函数图象经过的点满足函数解析式的特点，将点的坐标代入解析式中，列出含未知系数的方程组，最后求解方程组即可得到二次函数解析式.

例3已知二次函数的对称轴为 x =2，且经过点（1，4），（5，0），求二次函数的解析式.

点評：用待定系数法求二次函数解析式，要注意恰当选择解析式的形式.尽可能使表达式中待定系数的个数最少，且简便易求，上题中方法三就更简单.

待定系数法是一种重要的、常用的数学方法，被广泛应用于解答因式分解、解分式方程、求函数解析式等数学问题中.同学们应注意归纳总结，多加练习，熟练掌握待定系数法的运用技巧.