怎样利用图形的旋转变换解题

卢文君

把一个图形绕一个定点按顺时针或逆时针方向旋转一定的角度而得到另一个图形，这种变换叫旋转变换.它不仅是探索图形性质的重要手段，也是解答几何问题中一些复杂图形问题的有力工具.在解题中巧妙利用旋转，抓住图形变换过程中的几何不变性，或转换线段和角的位置，使分散的条件相对集中起来，可以为题设和结论的沟通架起桥梁，从而为解题找到突破口.下面举例探讨旋转变换在解几何题中的应用.

一、抓住图形旋转中的不变量

图形旋转的主要特征是：图形中每一点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度，对应点到旋转中心的距离相等.运用图形旋转法解题时，关键是要抓住图形旋转中的不变量，例如角、线段等，利用“旋转后对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角”和“旋转后对应边、对应角都不变”的性质，从变化中寻求不变，从而使复杂问题简单化.

例1已知点 P 是正方形ABCD 内的一点，连接 PA、PB、PC.（1）将△PAB绕点 B 顺时针旋转90°到△P′CB 的位置（如图1所示），若PA=2.PB=4，∠APB=135°，求 PC 的长.（2）如图2，若 PA2+PC2=2PB2，请说明点 P 必在对角线AC 上.

分析：（1）连接 PP′，如图1，根据旋转图形的性质得BP=BP′=4，CP′=AP=2，∠PBP′=90°，∠BP′C=∠BPA=135°，则可判断△BPP′为等腰直角三角形，得∠BP′P=45°，PP′= 2 PB=4 2 ，于是∠PP′C=∠BP′C - ∠BP′P = 90°，则根据勾股定理计算出 PC=6;

二、发现和构造图形旋转中的全等图形

旋转变换是一种常见的全等变换，图形的旋转变换不改变图形的形状、大小，只改变图形的位置，旋转前后的图形对应边相等、对应角相等.故解题时可充分利用图形旋转变换的这一特点，去寻找和发现图形中的全等图形，特别是当题目条件中出现等腰三角形、正三角形、正方形、中线（或中点）时，常考虑通过图形的旋转构造全等三角形，以求得问题的答案

三、利用图形旋转将分散元素集中

当题目条件较分散，线段、角不在同一个图形中时，往往可以通过旋转变换，把部分图形“搬”到新的位置，由此带来新的全等图形和相等的线段、相等的角，从而使原本分散的已知条件或结论中所涉及的元素集中到某一个图形中，使题目中隐含的关系明朗化，以达到解题的目的.

例3如图4，在△ABC 中，AB =AC，点 P 为三角形内一点，且∠APB <∠APC，求证： PB >PC .

分析：待证结论 PB >PC 与已知条件∠APB <∠APC 中四个元素是分散的，不在同一个三角形或四边形中，故考虑通过变换将这四个元素集中.考慮到点 A 为不动点，可作为旋转中心，又因为 AB =AC，可将点 C 作为旋转后点 B 的对应点.

旋转是几何图形运动中的一种重要变换形式，恰当地对几何图形进行旋转变换，可以优化图形结构，有助于我们发现图形之间的位置和数量关系，进而使较为复杂的问题得以顺利求解.

上期《〈二次函数〉拓展精练》参考答案

1.C;2.D;3.B;4.D;