含参数的一元二次方程问题的常见错解剖析

陶云英

含参数的一元二次方程是同学们在学习一元二次方程这一章节时要突破的一个重难点问题，许多同学在求解时常因各种原因错误频出.对此，笔者归纳了几种常见错误，并对其进行了剖析，希望同学们能够从中汲取教训，不犯同样的错误.

错误之一：盲目认定方程为一元二次方程

在解答二次项系数含参数的一元二次方程问题时，不少同学受思维定势的影响，常常把题目中的“有实数根”直接等同为“有两个实数根”，错误地认为题目所给的方程一定为一元二次方程，遗漏了方程为一元一次方程的情况，导致解题出错.

例1

错解：

剖析：上述解题出错的原因在于把题目中的“有实数根”理解成了“有两个实数根”，故而认定方程为一元二次方程.事实上，当t =0时，该方程为一元一次方程，仍有实数根，所以在求解时需要分 t =0和 t ≠0两种情况进行讨论.

正解：

评注：一般地，在求解含字母系数的一元二次方程问题时，若题目中没有明确指出该方程为一元二次方程，那么该方程可能为一元二次方程，也可能为一元一次方程，所以应分类讨论二次项系数不为零和为零的两种情形.

错误之二：忽略二次项系数不为零

一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 中隐含着二次项系数 a ≠ 0 这一基本条件，然而有些同学在解答含参数的一元二次方程问題时，恰恰忽略了二次项系数“ a ≠ 0 ”这一隐含条件，致使解答结果不准确.

例2

错解：

剖析：上述错误是因为忽略了“一元二次方程中二次项系数不为零”这一隐含条件.此题中，因为方程有两个实数根，所以该方程为一元二次方程，这样就有 k2≠0， 即 k ≠0，故当 k =0时，N =2k -3=-3应排除.

正解：

评注：在破解二次项系数含参数的一元二次方程问题时，若题目中给出了方程有两个实数根，则说明该方程为一元二次方程，即二次项系数必不为零.

错误之三：利用根与系数的关系解题时没有考虑判别式非负

韦达定理说明了一元二次方程中根与系数之间的关系，常被用于解答含参数的一元二次方程问题，但很多同学在运用时往往忽视了一个重要的制约条件，这就是要先保证该一元二次方程有实数根（即△≥0），如果一元二次方程没有实数根，则也不存在根与系数的关系.因此，我们在运用韦达定理时要牢记判别式的这一条件.

例3已知方程 y2+（2a +1）y + a2-2=0的两实数根的平方和等于21，则 a 的值为    .

错解：

剖析：上述错误主要在于利用一元二次方程根与系数的关系时，忘记了△≥0这一前提条件.事实上，经检验，把 a =-4代入方程中，可以得出其判别式△<0，该方程无实数根，故 a =-4不符合题意.

正解：

评注：一元二次方程根与系数的关系成立的前提条件是方程有实数根，即必须满足方程的根的判别式为非负数.要注意根与系数的关系和判别式是结伴而行的.

从以上几例错解可以看出，在解含参的一元二次方程问题时，同学们一定要认真审题，仔细分析，周密思考，充分挖掘题目中的隐含条件，切忌因思维定势而误入解题的“陷阱”.上述几个错误解法具有典型性，希望同学们能从中吸取教训，举一反三，提高解题的准确性.