数列与其他知识综合型问题的求解

■张丽亚

以正整数集或它的有限子集为定义域的、一列有序的数叫数列。数列因其具有离散性、有序性、递推性、趋向性等特点，使得它与其他数学知识、生活实际之间都有着千丝万缕的联系。下面归类分析。

一、数列与函数的联系

数列是一种特殊的函数，因此数列常常会与函数交叉在一起出题，考查考生对数列和函数关联性的理解和应用。

例1数列{an}的通项公式(n∈N*)，记数列{an}的前n项和为Sn，则使Sn＞0的n的最小值为_____。

解析：因函数图像的对称中心是，故f(1)+f(2)+…+f(10)=0，即S10=0。当n≥6 时，f(n)＞0，所以a11=f(11)＞0，所以S11＞0，即n的最小值是11。

二、数列与方程的联系

函数是数列和方程产生联系的桥梁，因此在有些看似与数列毫无关系的方程问题中，若可以发现题目条件中隐含的数列因素，借助数列的特质，改变原问题的结构，则可以开辟新的解题思路，拓宽思维和视野。

例2解方程。

解析：将方程右边的1变形为，则成等差数列，借助等差数列即可顺利求得其解。

三、数列与生活实际的联系

这类试题需要考生在读懂题目所表达的具体含义的基础上，构建数学模型，并通过观察所给数列的特征，判断出该数列的通项公式，进而确定数列的首项或前n项和。

例3为了激发同学们学习数学的兴趣，某数学兴趣小组的同学经过深入研究推出了一款“解数学题获取软件激活码”的应用软件。这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推。求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂。那么该款软件的激活码是( )。

A.440 B.330 C.220 D.110

解析：由题意可得数列形为：

1，

1，2，

1，2，4，

…

1，2，4，…，2k-1

…