一类基于“累加”求和设计的数列

■陈乾可(指导教师:范伟峰)

形如an+1=pan+f(n)a2n(p≠0)的递推数列试题是一类基于“累加”求和设计的数列类试题,这类试题所包含的类别和求解方法可以归纳如下。

一、类别与方法综述

解an+1=pan+f(n)a2n,p≠0,an≠0型递推数列,通常先两边同除以anan+1,得；两边同乘以pn,得。可以进行累加求和,即由产生新的式子,新的式子是个新的“天地”,大有作为。

解决这类试题的关键是创造累加求和的可能,不等式部分需要基本的放大缩小技能、方法。

二、p=1且f(n)是常数时,求解方法简单而直接

例1数列{an}满足。求证：

(1)an+1＞an；

证明：(1)由an+1-an=a2n≥0,若an=0,则数列为0的常数数列,与矛盾,故恒有an+1＞an。

(2)an+1=an+a2n,两边同除以anan+1,得,对n赋值、累加得。当n≥2 时,an+1＞an(增数列),所以有1。因此有2(n≥2,n∈N)成立。

评注：这里有几个特征很明显,p=1,,累加求和是自然的,利用an进行放缩获得结果。

三、p=1且f(n)是整式相关变量时,求解难点在放缩上

例2已知,求证：

(1)an＜an+1＜1；

证明：(1)显然有an+1＞an＞0。另由,两边同除以anan+1,得。放大得,对n赋值、累加可得an+1＜1。

评注：(1)f(n)由常数变为与n的整式相关的变量了,放缩技能也要加强,需要往数