数学建模思想在初中数学教学中的应用研究

谷文山

一、 数学建模思想概述

数学建模思想是一种实现复杂问题简单化的重要思想，是一种解决实际问题的重要能力。在初中数学教学中，数学建模思想可简述为：为同一类型题目寻找具有普遍性的解题方式，从而减少思考时间，快速解题。以一元一次方程的求解步骤为例，通过分析不同一元一次方程的求解步骤，分析不同一元一次方程求解步骤中的相同点和重点，从而总结出可以指导所有一元一次方程求解过程的步骤模型，即“去分母—去括号—移项、合并同类项—系数化为1”。数学建模思想不是一种特定的能力，而是多种能力的交织，例如类比分析能力、归纳总结能力、透过表面看本质的能力等。

关于数学建模过程，目前已经有多位研究者从不同的视角给出了不同的答案，其中比较有代表性的是布鲁姆的七阶段说。布鲁姆将数学建模过程看作现实与数学的循环，建模过程分为七个阶段，即“现实情境—情境模型—现实模型—数学模型—数学结果—真实结果—情境模型—现实情境”。笔者根据自身教学经验，结合初中数学教学特点，将布鲁姆的七阶段简化为“识别主要对象—总结模型—运算求解—模型验证”四阶段。

二、 数学建模教学对初中数学学习的意义

初中数学教师在教学过程中开展建模教学，能够有效提升学生的数学成绩和数学学科核心素养。一方面，教师指导学生掌握建模方式和应用数学模型解答题目，可以提升学生的解题速度和帮助学生将复杂题目简单化，从而提升学生的数学成绩。另一方面，教师在指导学生掌握建模方法的过程中，还培养了学生的类比分析、归纳总结、逻辑推理等能力和抽象思维、简化思维、批判思维等，这类核心素养不仅有利于提升学生当下的学习效率，还能促进学生后续学习。另外，建模思想实质上是一种利用过往经验解决相似问题的思想，人类社会的发展离不开经验的积累，学生学会利用生活经验解决实际问题，不仅对学生的数学学习有重要帮助，对学生未来的生活、工作也有显著的积极影响。

三、 初中数学建模的几个典型实例

(一)方程、不等式模型

初中数学需要学习的方程有一元一次方程、二元一次方程组、分式方程和一元二次方程，需要学习的不等式有一元一次不等式、一元一次不等式组，借助于反比例函数和二次函数，教师还应为学生额外补充分式不等式和一元二次不等式的解法。方程和不等式是用来诠释现实生活中的数量关系的基础数学模型，其中方程和方程组用来诠释等量关系，不等式和不等式组用来诠释大于、大于等于、小于、小于等于的非等量关系。现实生活中的分期付款问题、打折销售问题、利息计算问题、工程行程问题等多被抽象为方程或方程组模型，从而通过列方程(组)、解方程(组)的方式解决；现实生活中的核定价格范围问题、统筹安排问题等多被抽象为不等式或不等式组模型，通过列不等式(组)、解不等式(组)的方式解决。

(二)函数模型

初中数学需要学习的函数有三种，分别是一次函数、二次函数和反比例函数。函数是用来诠释现实生活中事物之间联系的数学模型，通过观察函数图形，不仅能直观获得两个量之间的关系，还能预测发展趋势。现实生活中的最佳决策问题、最小成本问题、最大利润问题等都可被抽象为函数模型，从而通过设未知数、求函数解析式、观察函数图像、得到最值结果的方式解决。

(三)几何模型

初中数学需要学习三角形、平行四边形和圆三种图形，学习平面图形平移、对称和旋转三种运动，学习全等和相似两种重要的图形关系。几何是用来描述现实生活中的空间形式的数学模型。现实生活中的航海问题、测量问题、城市规划问题等多被抽象为平面图形或复杂的图形，从而利用几何定理、几何证明等知识解决问题。在初中几何学习中，有些模型是用于解决实际生活中的具体问题的，例如将军饮马模型、两点之间最短距离模型等，有些模型更多用于解答复杂的几何题目，起培养学生观察力、启发学生思维、提升解题效率等作用。

(四)统计、概率模型

初中数学学习基础的数据收集、数据描述和数据分析等统计学知识，能够采取正确的方式获得数据，能够利用相应的统计图描述数据，能够利用对应的统计工具分析数据。初中数学学习简单事件的发生概率，能用树状图或表格计算发生概率。统计、概率模型能提升决策科学性，在人文、管理、经济、自然科学中都有很普遍的应用，通过将实际问题转化为统计模型，利用统计学知识获得实际问题的最优解。

四、 数学建模思想在初中数学教学中的设计原则

(一)学生主体性原则

建模思想教学的最大难点是如何令学生自觉应用建模思想解决问题，在实际教学中，利用数学模型解题固然可以提升解题效率和降低解题难度，但并不意味着学生只能利用数学模型解题，这就为学生留下了一丝“侥幸心理”，即有些学生认为建模思想没有学习的必要。所以教师在开展建模教学时，必须秉承学生主体性的原则，关注学生的学习需求，让学生真正体会数学建模的意义，激发学生的学习热情，引导学生主动参与数学建模过程，帮助学生掌握数学建模能力。

(二)循序渐进原则

教师在开展建模教学时，必须秉承循序渐进的原则，即教师应该首先为学生展示建模思想的应用效果和帮助学生形成对建模思想的正确认识，从而令学生愿意为了提升学习效率而学习建模思想；当学生初步具备建模意识后，教师在教学中渗透建模思想，帮助学生在潜移默化中形成对建模步骤的初始印象，然后教师利用启发式教学或组织数学探究活动的方式，指导学生自主归纳建模步骤，从而掌握建模能力。最后教师为学生提供足够的建模能力训练，帮助学生巩固建模能力。若教师在开展建模教学时没有遵循循序渐进的原则，在学生还未形成对建模思想的正确认识时便开展建模方法教学，则一方面学生对教学内容不重视，导致教学效率不高；另一方面学生缺乏感性知识储备，很难实现认识的飞跃。

(三)应用性评价原则

建模思想教学的终极目标是令学生掌握建模方法并能够独立自主地完成建模任务，所以教师在对建模教学效果开展评价与反思时，应该侧重于考查学生的能力而非智力，即考查学生面对问题时是否主动尝试利用建模思想解决问题并最终通过建模解决同类问题。在建模教学中，培养学生主动调用建模思想解决问题的意义比要求学生掌握建模思想的应用意义和建模步骤更重要。

五、 数学建模思想在初中数学教学中的应用策略

(一)强调建模思想的重要性

教师在教学过程中强调建模思想的重要性有利于激发学生的学习动力，形成“学生主动学”的氛围，从而提升教学效率。首先，教师可以利用榜样示范法强调建模思想的重要性，一方面，教师可以选取数学史上与建模思想有关的小故事，例如教师在讲解《勾股定理》的时候，为学生讲述毕达哥拉斯参加餐会，从大理石地砖图案中发现勾股定理的故事，毕达哥拉斯发现并证明勾股定理的过程便是数学建模的过程；另一方面，教师观察班上学生是否有人已经具备模型意识，教师对有意识利用数学模型解题的学生展开表扬鼓励，要求班级其他学生向他学习。其次，教师可以通过对比的方式强调建模思想的重要性，即教师在讲解题目时，先利用一般的解题方法讲解例题，然后为学生讲解该题目所涉及的数学模型，指导学生利用数学模型快速解题，让学生感受到利用数学模型解题能有效提升解题效率这一事实，从而激发学生的建模意识。最后，教师可以利用说服教育法强调建模思想的重要性，即教师为学生阐述建模思想对他们当下和未来的数学学习的重要推动作用，提升学生对建模思想的重视。

(二)在教学中渗透建模思想

在教学中渗透建模思想，要求教师以知识讲解或例题讲解的方式描述建模过程，帮助学生形成对数学建模的初始印象，在这一阶段，教师可以根据班级学生的状态选择是否开展教学延伸。下面以教学案例的形式阐述在教学中渗透建模思想的具体方法。

其次展示教师在例题讲解过程中渗透建模思想的教学案例，当开展《轴对称图形》的教学时，学生会遇到如图1所示的题目，该题目非常典型，属于“将军饮马”模型应用题。教师在讲解完该题的解题方法时，可以向学生提出以下要求，将题干文字转化为数学语言，提炼题干涉及的重要条件并分析，总结解题方法。在学生思考过程中，教师通过提问、暗示等方式帮助学生完成学习任务。例如将题干文字转化为数学语言，该题干内容便变为：点P是直线l上的一个动点，A、B是直线l同侧的点，求PA+PB的最小值。分析题干，提炼出的重要条件为直线l和点P、A、B，进一步分析则可为重要条件加上定语，定直线l、定直线l上的动点P，定点A和定点B，该题目的解题方法可概括为任选定点A和定点B中的一个作关于定直线l的对称点，连接另外一个点和对称点，另外一个点和对称点所连线段和定直线l的交点即为P的位置，另外一个点和对称点所连线段的距离就是PA+PB的最小值。在此过程中，学生已经完成了建立数学模型的全过程，脑海中储备了建立数学模型的基本方法和具体步骤。

图1 “将军饮马”模型例题

(三)指导学生掌握建模能力

在学生已经初步了解建模思想的应用意义并在头脑中储备了足够的建模经验时，教师应该指导学生自主完成建模，即利用教师提供的建模经验，自主建立数学模型并检验。为了活跃课堂气氛，激发学生的建模积极性，教师可以组织学生小组合作，以合作探究的方式完成数学建模任务。在初中数学教学内容中，很多知识点都涉及建模思想，例如方程(组)模型、不等式(组)模型、函数模型和几何模型，教师根据本班级的教学进度合理安排数学建模任务。例如教师在完成《勾股定理》的教学后，可以为学生提供如图2所示的题目，该题目是“手拉手”模型的典型例题，教师要求学生以小组合作的形式分析该题干已知条件的特点和各小题的证明方式，研究当等腰直角三角形的条件变为普通等腰三角形和等边三角形，各小题结论是否仍然成立。教师要求学生总结探究结果，得出“手拉手”模型的图形特征为：两个顶角相同的等腰三角形顶角的顶点重合；“手拉手”模型可得出的结论为：(1)拉手后得到一组全等三角形，拉手线相等；(2)拉手线的夹角=等腰三角形顶角；(3)拉手线交点与公共顶点的连线平分拉手线夹角。当普通等腰三角形变为等腰直角三角形和等边三角形，则特殊“手拉手”模型可以得到更多的结论，以等腰直角三角形“手拉手”模型为例，由于拉手线夹角等于等腰直角三角形的顶角，所以出现90°夹角，得到线段间的垂直位置关系和线段间的数量关系。

图2 “手拉手”模型例题

(四)给予学生数学模型应用训练

能否通过读题识别出数学模型并利用模型思想解决问题是检验学生是否真正具备模型意识和掌握模型应用能力的最佳手段，所以教师要给予学生模型应用训练，一方面帮助学生查缺补漏，另一方面令学生真切感受模型思想对数学学习的帮助。首先，教师在完成数学模型教学后应该及时为学生提供配套的模型应用训练，加深教育影响，巩固学习成果。例如，教师在完成《一元二次方程解决实际问题》的教学后，引导学生掌握“阅读题干，提炼数量关系—设未知数并代入数量关系—解方程—检验”这一解题模型，然后为学生布置一元二次方程应用题的作业，要求学生利用模型解题。需要注意，教师要平衡好模型应用训练中模型应用和思维拓展的关系，避免令学生形成固定思维，从而遏制学生发散思维、收敛思维和联想思维等高品质思维的发展，如教师在检查《一元二次方程解决实际问题》的应用题解题模型应用训练效果时，教师应该首先判断学生的求解过程是否正确，若学生的求解过程无逻辑硬伤且答案正确，则教师不应该强行要求学生严格按照模型步骤开展解题，若学生的求解过程逻辑不清且没有完整解答问题，则教师应该要求学生记忆模型步骤和了解模型原理，首先严格按照模型步骤完成解题，然后再探索属于自己的个性化解题方式。其次，为了拓展学生思维，加深学生对模型的理解，教师可以为学生提供模型变形应用练习，但要注意遵循循序渐进的原则，为学生提供由易到难、由浅入深的解题体验。例如教师在完成《一元二次方程的根与系数的关系》的教学后，应该首先为学生提供利用一元二次方程系数判断根的情况的题目训练，然后提供利用已知一元二次方程根的情况求系数取值范围的题目训练，最后提供已知一元二次方程两根之间的关系求系数取值范围的题目训练，例如已知一元二次方程的两个根互为相反数，则应该令Δ≥0且x1+x2=0。已知一元二次方程的两个根互为倒数，则应该令Δ≥0且x1·x2=0。最后，有些数学题有多种解题方法，教师利用最基础的解题方法引导学生建立解题模型，但在模型应用训练过程中，有学生使用了不同的解题方法，教师应该针对学生的创新意识和探究精神给予表扬鼓励，但是教师不可贸然推广新颖便捷的解题方法，因为虽然有些解题方法能够快速解题，但解题原理却不是班级绝大多数学生能理解的。

(五)引导学生利用建模思想解决实际问题

六、 结语

新课改要求学生在学习过程中形成核心素养，实现能力的提升。在初中数学教学中运用建模思想就是符合新课改理念，契合现代教育发展方向的重要策略。初中数学教师应该积极主动设计渗透建模思想的教学过程，帮助学生形成对建模思想的正确认识，指导学生掌握建模能力，从而提升学生利用所学知识解决实际问题的能力。