初中数学中几何意识渗透的思维路径建构之策略研究

时间：2024-05-08

李强

在数学解题应用中，几何图形与代数运算内容，彼此体系独立，又互相联系。学生在面对这一系列问题的困惑时，教师被学生提问频率最高的问题是什么？

如在平面几何问题中，辅助线的添加始终是一个学习中的难点，学生往往会问：

“老师，你看到这个问题是如何想的？我怎么想不出来？”“老师，添辅助线有规律吗？”……

这样的提问，那老师又应该怎么回答呢？

笔者在调研中发现，教师往往会讲：“添辅助线有常法而无定法。”这里的“常法”是什么？“定法”又是什么？有的更是回答：“添辅助线就是拿到一道题目，先添一条试试看，不行再添一条试试，多试几次总会成功的。”显然，老师所做的回复根本无法解决学生在解题过程中出现的困惑。

因此，任何离开对图形本质研究的分析方法，都不可能在数学教学中取得成功。

当然也有老师在教学中会采用，诸如：“我们怎么证明两条线段相等呢？

要证明两条线段相等，可以应用全等三角形；

可以证明这两条线段都和第三条线段相等；

可以应用同一三角形中的等角对等边；

可以应用比例性质等。”

在实际教学中，没有一位老师是能够列举完的，一般都是列举了几条就结束了，那为什么列举到这里就刹车了呢？

显然，教师也无法把问题解决过程的本质思想讲清楚。

从思维的角度来看，这里应用的是列举的方法，属于扩散思维的范畴，无论哪一位教师都不可能进行完美、毫无遗漏的列举。另外，假设有老师将所有的可能性都列举了出来，但由于其中的相当一部分可能性对这个具体问题的解决来说，又是毫无价值的，因为这也确实会包含许多无效的思维和努力。然而实质性的问题还不仅仅是在这里，关键的问题是当你列举出了这样许多方法或可能性以后，对具体的题目来说，你是怎样做出选择的？又是根据什么来做出这样的选择的？

一、 “几何意识渗透”“思维路径”是什么？

(一)对“几何意识渗透”的概念诠释

意识：人的头脑对客观物质世界的反映，是感觉、思维等各种心理过程的总和，其中的思维是人类特有的反映现实的高级形式。存在决定意识，意识又反作用于存在。

几何意识：是一种基本的数学素养。在这一过程中，几何把图形的空间结构及性质作为研究对象，用图形说话，用图形描述问题，用图形讨论、研究和解决问题。

几何意识渗透：在一定的学习情景下，强调学生是认知主体，是知识意义的主动建构者。在具体的几何课程中，教师引导学生对已经学过的几何概念、性质和图形特点具体化、形象化、概念化，形成学生自己的知识系统、几何理解。尤其在问题解决的过程中，学生依据新经验对原有经验本身做出主动的调整和改变，使同化和顺应两方面有机地统一起来。

(二)对“思维路径”的认识理解

思维路径：即思路。它是人脑中的预测能力系统，在大脑中产生朝向目标的倾向性，进而实现目标的计划和方法。从认知心理学层面来说，它是在问题空间中进行搜索，以便从问题的初始状态达到目标状态的思维过程。

在几何解题教学过程中，几何背景及问题呈现的多样化，致使学生对问题盲从、无所适从。为了引导学生找到行之有效的思路建构的有效方法策略，笔者在分析图形与几何类问题后发现：这一类问题，往往存在一些组成一个问题最简单、最重要、最基本的，且又具有特定性质，并能明确地阐明应用条件和应用方法的基本构图。

二、几何意识渗透的思维路径建构策略

(一)“类比-同构”，打通个体知识联系的堵点

1.从几何知识的同构性出发，做横向类比

※从运算理解的同质性出发，做对比

在初中数学中存在不少几何概念，其几何形态不一样，但是从代数运算的关系表述的本质是一样的，如：线段与角的和差、线段与角的平分(或n等分)这一组概念，几何形象完全不一样，但是研究这一类问题的代数方式却是一样的，如下例所述。

『背景问题1：在7点与8点之间，时针与分针在什么时刻互相垂直？』

分析：这个问题实际上是行程问题中的追及问题。可知分针、时针每分钟旋转的度数分别为6°、0.5°，从方程视角设从7点开始x分钟后时针与分针的夹角为90°，此时分针、时针旋转的度数分别为6x°、0.5x°。分别如图1-1、图1-2所示，揭示了分针超过时针前、超过后90°的情形，可列出方程：|210+0.5x-6x|=90，进而解决问题。

图1-1

图1-2

可以看到，背景问题中几何形态的本质是角的和差问题，类比行程问题，再通过指针(边)的旋转来理解夹角为90°的几何状态，学生理解起来比较困难。分析过程中，借助代数运算(方程)模型的同质性，用线段和差的视角，利用这一种知识的同质性，利用线段图的方式，转换问题表述的几何形态，降低理解的入口，这一做法，无疑是有益的。

※从逻辑体系的类同性出发，做对比

不妨从特殊平行四边形与特殊三角形这两个几何概念模块做一下类比，可以引导学生从概念布局的整体视野，活化思考几何问题解决的具体策略运用。

特殊三角形与特殊平行四边形这两个板块内容的概念体系具有类同性。任意三角形在进行边的特殊化后形成等腰三角形(或等边三角形)，在进行角的特殊化后形成直角三角形，边角的同时特殊化形成等腰直角三角形。而平行四边形也是如此，依次形成菱形、矩形和正方形。

2.从几何知识的层次性出发，做纵向类比

从简单到复杂符合知识布局的基本路径，在初中几何体系中，不妨以轴对称性为线索，梳理如下图所示图形的性质演变过程：

正是轴对称性在这一图形概念序列中的共通性，对单个性质的掌握不能做剖离思考，教师必须要引导学生具有整体视野，从而促成概念体系的系统、有序建构。真正让学生在这一过程思考中，获得知识、能力成长的快乐，又如下列问题。

『背景问题2：如图，AB是一圆形装饰物的一部分，请你确定它所在圆的圆心。』

在理解圆的轴对称性基础上，由垂径定理的推论“弦的垂直平分线必经过圆心”，通过二次作图，确定圆心位置。

笔者认为，几何问题思维路径的架构，教师应在引导学生学会学习的过程中多下“笔墨”，应注重学生认知能力的培养、渗透，让学生学会归纳、类比，从而建构系统的知识体系，这是几何学习、几何意识有效促成的基础。

(二)“解构-重构”，筑牢课堂结构优化的内涵

心理学上说，在几何问题空间内，往往需要面对所要解决问题的背景状态和结果状态，思考“如何从条件背景状态过渡到目标结果状态？”，是思维路径搭建的主要方面。

1.深化图形结构，尝试中学会建构

从问题解决的策略上来说，对一个问题的条件状态、结果状态整体感知，是思维路径架设的起点端口。下面不妨以浙教版数学八上第35页例7的解题教学为例，加以引申阐述。

『教材母题3：已知：如图，AB∥CD，PB和PC分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直，求证：PA=PD。』

图3-1

图3-2

图3-3

分析：梳理并解构教材中方法发现，其思维路径可分为三个层次：

★思维框架确定：观察、分析现有图形背景，不具备直接证明线段AP=PD的条件，利用等号的传递性，构造过渡线段，确定间接证明线段相等，这是问题解决方向。

★思维进程设计：在上一阶段基础上，根据角平分线这一主干条件，利用角平分线性质定理，确定如图3-1所示PE⊥BC于E这一辅助线策略，尝试运用AP=PE且EP=PD这一证明构型。

★思维细节打磨：依据图3-2，图3-3这两个基本构图，利用AB∥CD，及DA⊥AB于A，细化PD⊥CD于D的推理过程，最终证明PA=PD。

教材中利用基本图形分析的方法，符合几何问题解决的一般思维过程。然而，反思教材问题中的背景图形，能否尝试别的辅助线呢？为直接证明AP=PD创造条件，重构问题解决新策略。通过师生互动，应能发现以下思维路径。

图3-4

图3-5

图3-6

很显然，对上述背景问题解决策略的重构，如图3-4所示，通过添加BP的延长线，构造如图3-5、图3-6这两种全等构型，直接证明了线段相等。

对比上述两种方法的基础上，不难发现，从框架确定、进程设计、细节打磨这一基本思维架构上具有共通性，符合合情推理的基本规律。由此可知，我们在追求问题解决策略最优化的同时，需要保持思维活性，克服定势，应多做变向思维。在培养几何意识的进程中，有时候让学生充分享受思考、体验思维的全过程，这或许是最重要的。

2.构“一题”变式通道，体验中活化思维

我们面对的例题，往往是固定的。但是在几何学习中，又可以通过很多途径对例题进行变式，赋予它无穷的变化性。如：改变条件、改变结论、改变数据或图形；条件引申或结论拓展等。让学生在习题训练中体验问题理解的多维视角，培养学生思维的灵活性。这一过程中更会发现：许多由基础知识、基本技能的推广与拓展，培养学生理解问题、分析问题、解决问题能力的问题，都能在课本上找到原型。

由此，笔者就依此教材母题的改编实践，说明举例如下。

『教材母题4(浙教版八上第35页探究活动)：如图，在△ABC和△DEF中，B、E、C、F在同一条直线上。下面给出四个论断：①AB=DE；②AC=DF；③∠ABC=∠DEF；④BE=CF。任选三个作为已知条件，余下一个作为结论，可得到几个命题？其中真命题有几个？分别给出证明。』

图4-1

分析：对本习题探究，要求学生对“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”这四种三角形全等的判定方法有一个整体把握。由条件BE=CF不难得出BC=EF，分析习题中4种命题可能性。

下面就以此题为例，通过“改变条件、改变结论、改变数据或图形；条件引申或结论拓展；条件开放或结论开放或条件、结论同时开放等方面”设置一组几何变式问题：

图4-2

图4-3

图4-4

图4-5

变式1(图形翻转)：如图4-2，已知点B、E、C、F在同一条直线上，点A、D在直线BF的两侧，AB∥DF，AC∥DE，以上条件能否证明AC=DE？若不能，则请从以下三个条件中任选一个满足的，并证明。( )

(1)能 (2)不能，需再添加BE=CF(3)不能，需再添加∠A=∠D

变式2(位置平移)：如图4-3，已知点B、C、E、F在同一条直线上，BE=CF，AC=DE。能否由上述条件证明AB∥FD？若能，请给出证明；若不能，则请从括号中所列的条件中选择一个合适条件，并添加到已有条件中，使AB∥FD成立，并给出证明。(可供选择的条件有：①AB=FD；②BC=EF；③∠ACB=∠DEF。)

变式3(形状改变)：(1)如图4-4，已知点C为线段BF上一点，△ABC和△CDF是等边三角形，连接AF和BD。求证：AF=BD。

(2)在第(1)小题的基础上，问题中“△ABC和△CDF两个等边三角形”换成如图4-5所示的两个正方形，试猜想AF与BD的关系如何，请说明理由。

分析：此组变式题组，以课本例题为背景，经过巧构妙思编拟而成，它是课本原题或原题的变化、延伸、拓广。这一过程中，图形背景、条件结论在演变，但是，变式指向的知识核心(如：全等三角形的判定与性质等)、思想方法仍然没有变。在解题教学中，利用好课本是关键，应“以标据本”，充分发挥课本例题、习题的功能，重视课本中典型例题的演变、引申、拓展。