浅谈解三角形题时的关键技巧

摘 要：随着我国教育体制的不断变化，各学科的重点和考点也发生了偏移，根据我国2018年更新的高考考纲所进行的标注，解三角形所涉及的问题成为新的考试重点和频考知识点。同时，新课标也对高二数学中的解三角形问题作出了新的规定和要求。首先，学生需要能够熟练掌握三角形的正弦定理和余弦定理，同时运用这些知识点来解决相应的度量问题。本文阐述了解三角形教学和习题过程中易出现的问题，有针对性的分析了相关解题技巧。

关键词：高中数学;解三角形;技巧概述

一、 引言

虽然高考每年的考题都不同，但是考题类型的变化规律却是有迹可寻，这几年，解三角形题出现的频率颇高，是每個数学教师都需要深研的题型。然而由于解三角形属于几何和代数学中联系较为紧密的一环，具有较高的难度，是很多学生高中数学的薄弱环节，无法掌握有效的学习方法，形成正确的答题习惯。因此在学习过程中，对于教师和学生都存在着各种困难和问题，接下来，本文将逐一进行分析和探讨。

二、 解三角形教学和习题中易出现的问题

（一）过于重视教学内容

由于解三角形题在高中数学中的重要性，很多教师会在教学过程中遇到较多的问题，而通常情况下，数学教师不会深入分析学生之所以学不好、学不会的理由，而是一味的反复进行教学和习题训练。殊不知这种忽略学生感受、不重视解题技巧和学习趣味性的方式，不仅无法有效提高学生的学习效果，甚至还会起到反作用。另外，还有很多教师在习题的选择上存在问题，习题的难度不是偏低就是偏高，这就导致了能多学生无法通过习题进行有效的自我提升，甚至还会导致原本学会的知识也无法合理运用的情况。最后，还有些教师在反复教学、大量习题的流程之后，发现学生的能力没有提高，就将责任全都推到学生身上，还会用“别人学会了，为什么你不会”这种理由进行搪塞，导致学生产生厌烦心理，甚至影响数学成绩的提高。

（二）解题方法的掌握

解三角形对于学生而言，也缺失存在很多问题。首先，在高中阶段，很多学生思想过度活跃，会选择将过剩的精力放在谈恋爱、读闲书、上网打游戏等方面，在课上不注意听讲、在课后也没有经过仔细的复习，这就导致了知识点的掌握不够扎实。另外，还有很多学生是由于该模块知识点的难度，没有形成良好的解题思路和习惯，以至于在面对解三角形题时，总是像面对新题一样，缺少清晰的思路。相比之下，有一部分学生，看似并没有在这一模块投入大量的时间，但是却总能取得好成绩，就是因为掌握了正确的解题方法和技巧的原因。

（三）重视程度不够

通过近几年的试卷不难发现，解三角形的各类问题频繁出现在各种大大小小的考试中，包括月考、期末考、会考、统考甚至高考。由此可见，解三角形题在近几年的重视程度直线提高，因此需要教师和学生能够引起足够的重视，在学习和解题过程中，将其当作是必考题型来对待。同时除了对该类题型提高重视以外，教师还需要将涉及解题方式的各类知识点进行重新的梳理和归纳。以帮助学生能够在面对此类题型时，快速找到解题方法，并提高解题准确性。

（四）教学方式过于单一

即便解三角形是高中数学极为重要的课程之一，同时学生也需要面临高考的巨大压力，然而过于单一的教学方式，仍然对学生造成了极大的影响。传统模式下，学生无法根据知识点和自身兴趣爱好相结合，也缺少和同学针对不同知识内容进行讨论的机会，虽然学生可以和教师进行沟通，然而更多学生在面对自身解题问题的时候，仍然处于闭门造车的状态，不利于加深对解三角形题的认知和成绩的提升。面对这种情况，教师可以通过使用多媒体教学和分组合作的教学模式，来帮助学生重新认知解三角形的流程和知识点，通过视频演示和分组讨论的教学环节来分享解题经验，促进学生互相帮助的意识，并有效提高解题能力。

三、 解三角形时的关键技巧

（一）正弦定理、余弦定理的利用

正、余弦定理是解三角形题时的入门知识点，但是随着数学课程的深入，很多学生在做了大量的该类型题后，反而对基础的定理变得忽视起来。面对这种情况，教师需要及时指正，并让学生能够进行自我调整，不断深化对于正弦定理和余弦定理的掌握。举例说明，2015年新课标中的案例。

已知a、b、c分别是△ABC内角A、B、C的对边，sin2B=2sinAsinC。

（1）若a=b，求cosB。

（2）若B=90°，且a=2，求△ABC的面积。

试题解析：（1）由题设及正弦定理可得b2=2ac

又a=b，可得b=2c，a=2c

由余弦定理可得cosB=a2+c2-b22ac=14。

（2）由（1）知b2=2ac

因为B=90°，由勾股定理得a2+c2=b2

故a2+c2=2ac，得c=a=2

所以△ABC的面积为1。

该题的解题思路中，最为重要的内容就是充分利用已知条件将另外两个边表示出来，再结合余弦定理求出β的余弦值，只要能够完成这一步，就可以通过勾股定理求解。由此可见，在解三角形题的过程中，两个基础定理往往使用在最为关键的部分，且起到了起承转合的作用。另外，在面对不同题型时，还需要根据题干内容，注意边和角的关系。同时教师还需要着重培养学生数形结合的思维，通过正余弦定理的学习，让学生掌握在各象限内定理的应用，并结合到实际解题的应用中去，帮助学生更加直观的了解题干内容，并保证解题过程中的思路正确。

（二）注重解题规律的总结

很多学生在学习数学的过程中，之所以效果不佳，很大程度上是吃了不会总结，或者懒得总结的亏，虽然每道题都需要学生进行独立思考，但是类型题之所以叫做类型题，其核心内容是不会变的。

因此教师在指导学生学习解三角形的过程中，需要学会自我分类的方法，在遇到不同题型的时候，能够根据自己日常的积累，先确定题型、再确定解题思路、最后完成解题步骤。这种模式下，无疑是将数学的学习难度进行了一次自我简化，既节省了时间，又提高了效率，其本质是和复制、粘贴没有区别的。

尤其是在学习解三角形题时，这种摘抄的习惯更加重要，比如“如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理”“解题中一定要注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制”“在三角形中，大边对大角”这些结论性的内容不仅能够让学生快速找到解题思路，更能够帮助其形成良好的解题习惯。同时教师也可以让学生通过思维导图的方式，将这些解题习惯进行有效记录，以正余弦定理为关键词，帮助学生梳理解三角形题时能够应用到的技巧，将以上摘抄内容进行串联和梳理，帮助学生掌握面对不同题型时的解题顺序和解题思路，简化解题难度，帮助学生提高解题效率。

（三）解题模板的使用

为了能够在有限的时间内完成答题，那么掌握各种类型题的模板就非常重要了，解三角形题时同样需要注意归纳万能模板，如下题：

【引例】（2016·全国Ⅰ卷）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c。

（1）求C：

对于这道题的第一问，其规范解答应当是：

规范解答（1）由已知及正弦定理得

2cosC（sinA·cosB+sinB·cosA）=sinC，

1分 得分点①

即2cosC·sin（A+B）=sinC。3分，得分点②

因为A+B+C=π，A，B，C∈（0，π）

所以sin（A+B）=sinC>0，

所以2cosC=1，cosC=12，5分，得分点③

所以C=π36分，得分點④

由此可见，在解三角形题时，这一类题型的解题思路就应当是先利用正弦定理或余弦定理，将已知关于边和角的关系，转化为统一模式角或边的关系式;再利用三角恒等变换对关系式进行简化;最后完成求解，这种思路能够套用在所有不同的类型题上，只要掌握就能够极大提高解题效率。在面对高考的巨大压力下，很多学生会忙中出错，影响正常的答题时间，而通过利用解题模板的方式能够让学生的解题思路更加清晰，面对不同类型题时，能够有效分析出正确的解题思路，并通过模板的套用来帮助学生快速完成答题。这种技巧在考试时具有非常重要的作用，既能够缓和学生的紧张情绪又能够节约答题时间，为其他大题创造更加充裕的答题环境。

四、 结束语

综上所述，为了能够提高解三角形的效率和准确性，就需要教师注重解题方法的教学，学生要学会总结归纳，掌握口诀和各种模板，在简化解题思路的过程中，提高效率，节省时间。同时，最为重要的是让学生清晰的认知解三角形题的重要性，另外还需要通过相应的问题纠错，来帮助学生梳理自身答题时遇到的思维误区和知识盲点，通过这种模式让学生切实掌握解三角形的各种要素，优化解题准确率和效率。

参考文献：

[1]周伟忠.解三角形题时关键要抓住什么[J].中学数学教学参考，2008（9）：29-31.

[2]喻德胜.解三角形要注意挖掘隐含条件[J].中学数学研究，2010（4）：42-43.

[3]汪贵平，杨艳全.滴水不漏 步步为营：对一道解三角形题的左思右想[J].中学数学月刊，2018（3）：55-58.

作者简介：张晨曦，福建省南平市，福建省顺昌县顺昌一中。