妙用向量投影法解题的分析

摘 要：向量知识是高中数学的重要内容，对解决数学问题具有重要帮助，因此在数学学习中必须对向量投影法进行巧妙应用。基于此，本文就妙用向量投影法解题的策略进行研究，首先就向量投影法的概念进行简要描述，从而加深对这一方法的理解程度，然后阐述向量投影法在向量问题、几何问题和立体几何的应用，并以大量的例题进行解读。

关键词：向量投影法；解题思路；解题方法

在关于向量数量积的求解问题中，很多同学都会采用代数问题，但是代数难度较大，而且运算的过程也相对繁琐，因此应该对向量投影法进行合理应用，从而提高解题效率。

一、 向量投影法概述

在解决高中数学问题时，必须具备逻辑性和抽象性的数学思维，并且对各种数学概念有深刻的理解。对于向量投影法而言，要想巧妙地运用这一方法解决问题，就必须对这一概念进行深刻的理解，并且将向量投影法的概念与其他知识体系相联系，从而构建一个系统性的知识体系。向量投影法是平面向量这一章节中的概念，主要对数量积的概念进行引申。例如在一个三角形中三个角分别为A、O、B，其中向量OA=a，向量OB=b，过点B做OA的垂直线段BB1，则OB就是OA方向上的投影，即b是a方向的投影。根据上述概念可以对向量投影的计算公式进行总结，即|b|cosθ=a·b|a|=b·e，在这一计算公式中，cosθ是OB與OA之间的夹角，而e是OA方向的单位向量。就向量投影法的应用范围来看，主要体现在以下几个方面，分别是解决向量问题、解决平面几何问题、解决立体几何问题和解决线性规划问题。以解决几何问题为例，常会出现不同的解题情况，一种是垂足确定的情况，例如菱形对角线、直角三角形等；二是模长为定值的情况，例如已知模长的角度，对数量积的范围进行求取。

二、 妙用向量投影法解题的策略

（一） 在向量问题中的应用

在向量问题中，应用向量投影法能够巧妙解决问题，提高解题的效率。要用向量投影法解决向量问题，必须对向量数量积的几何意义进行明晰。从上文的概念描述可知，向量数量积就是“一个向量在另一个向量上的投影”，而数量积就是“向量模的乘积”，因此在解决向量问题时，必须对投影的长度进行计算，从而在最快的速度下得到问题的答案。

例1 假设有三角形ABC，其中P0B是AB边上的1/4处的线段，其定点为P0，且满足P0B=14AB，在AB上有一个任意点为P，并且满足→PB·→PC≥→P0B·→P0C。该问题的选项有以下几个方面，分别是

A. ∠ABC=90° B. ∠BAC=30°

C. AB=ACD. AC=BC

通过这一问题分析可知，向量投影法能够巧妙将问题简化，从而将解决数量积问题转变为解决投影问题。

（二） 在几何问题中的应用

图1

由图1可知抛物线x2=y，其中A点的坐标为（-12，14），B点的坐标为（32，94），点P是抛物线上的一点，且坐标为（x，y）（-12

（1） 对AP斜率的取值范围进行求取。（2）对绝对值PA和绝对值PQ的最大值进行求取。

很多学生在对待这一问题时会采用弦长求积的方式，虽然这种方法可以求出最终的解，但是需要对Q的坐标值进行确定，因此计算量较大，对解题的效率会有所影响。为了提升解题效率，可以采用向量投影法进行求解。首先将各点的坐标以向量的方式进行表示，因此可以将PQ看作是向量PB与向量PA上的投影，而投影的长度就是|→PQ|。由此来看，问题可以得到极大的简化。

（三） 在立体几何中的应用

在解立体几何的问题时，着重要对向量数量积的定义进行深入的了解，从而得到立体几何元素之间的距离公式。立体几何的距离公式可以分为以下几个类型，分别是点与面之间的距离、线与面之间的距离、面与面之间的距离和异面之间的距离，其中线与面之间的距离和面与面之间的距离都能够转化为点与面之间的距离。因此只需要掌握两个距离公式，其中点与面之间的距离公式为d=|n·→MP||n|，而异面直线之间的距离公式为d=|n·→MP||n|，其中M∈a，P∈b，而d就是异面直线a与b之间的距离。

三、 结论

综上所述，针对妙用向量投影法解题策略的探究是非常必要的。本文主要分析向量投影法的基本特点，然后从解题的角度提出一些切实可行的建议。研究可得，应用向量投影法解决向量问题、几何问题、立体几何问题和线性规划问题时，必须运用逻辑性思维对问题进行简化，然后运用投影的意识灵活应用数量积的概念，从而使问题得到高效率的解决。

参考文献：

[1]石向阳.强化向量“投影”意识把握数量积概念的本质[J].数学通讯，2017（10）：43-48.

[2]张焕萍.出奇制胜 百战百胜——浅析平面向量解题意识的培养[J].数学学习与研究，2015（17）：117-118.

作者简介：

刘浩文，山东省寿光市，寿光市现代中学。