从题根式教学谈课堂教学设计

赵晨

摘 要： 课堂教学追求高效、简洁，是新课程提出的教学要求.如何从课堂教学的角度让教学变得高效是一直以来困扰教师教学的问题.作者认为，数学问题千变万化都不离知识核心.

关键词： 题根式 课堂教学设计 函数模型

新课程数学教学一直致力于减轻学生的学习负担，但是我们发现，现阶段学生的学习压力并没有减轻，这是什么原因造成的？现在很多学生觉得课业负担很重，觉得读书很累，作业很多，从而会引发厌学、疲惫、抄作业等不良情况.究其原因，很大的一个问题就是学生在频繁地做同一个问题或是同一类问题，由于没有进行归纳总结，题目稍微变换一下，学生就以为变成了一个新题型，从而无所适从.

笔者认为有两方面原因：其一是教师传统的观念没有改变，教师很多时候在教大量的题型，但是有些陈旧的不舍得舍弃、新型的不断加入，造成学生学习负担更重；其二是课堂教学不够精准、高效，课堂教学精准高效依赖于教师对于数学核心知识的自建构，需要教师选择核心知识编制题根为主的课堂教学.

何为题根？题根是一个问题最核心的数学知识.很多题目都有一个“题根”，抓住问题的“题根”，看清问题的实质，其实题目可以变得很“少”.把一系列问题规范化后就是一个题目，就像讲课时的例题，课本上的习题，考卷上的考题，会场上的讨论题或研究题，归类后往往学习效果可以事半功倍.笔者列举一个题根式教学的设计1：《二次函数在闭区间上的最值问题》，选择二次函数设计的原因如下：

（1）二次函数求最值问题的重要性

二次函数在高中数学中的重要性不言而喻.它与指数函数，对数函数等函数结合，与恒成立问题、导数知识、实际运用问题、集合等很多模块的知识都有着密不可分的联系.函数问题往往会和函数的最值问题挂钩，而求函数的最值问题往往是学生的薄弱环节，因此加强这个部分内容的研究意义重大.

（2）学生学习二次函数的现状

二次函数在高中数学学习中意义重大.尤其是二次函数求最值问题.在求最值的时候采用配方的方法，不与图像结合，死记硬背一些公式，在求最值时很呆板，经常出错.

（3）用图像法寻找二次函数的最高点和最低点求函数的最大值和最小值的意义

配方法在求二次函数的最值是可以运用，但是我认为求函数的最值问题，特别是二次函数，用画出图像，寻找函数图像的最高点和最低点，往往是通俗易懂，让学生看图时往往是一目了然.我在十几年的教学中已经有了很深刻的体会.

设计：应用“题根”教育，突破难题教学设计，找到题根，把难题逐步“分解”.

（1）问题引入

问题：设二次函数f（x）=ax +bx+c，集合A={x|f（x）=x}，且f（x）在区间[-2，2]上的最大值和最小值分别为M和m，求：（1）A={1，2}且f（0）=2，求M和m的值；（2）A={1}且a≥1，记g（a）=M-m，求g（a）的最小值.

（2）问题实质

这道题目的第二步学生解决起来非常困难，其实它的实质是一个二次函数求最值的问题，我们可以把题目转化为：f（x）=ax +（1-2a）x+a（a≥1），求f（x）在[-2，2]上的最大值M和最小值m.

（3）题由根生

题根：①求函数f（x）=x -x-2在区间[-2，2]上的最值；②求函数f（x）=ax -ax-2在区间[-2，2]上的最值；③求函数f（x）=x -ax-2在区间[-2，2]上的最值.

（4）画出图像，寻找最高点和最低点

画出图像，观察点离开对称轴的距离，判断函数图像的最高点和最低点，就是函数的最大值和最小值.

（5）问题击破

f（x）=ax +（1-2a）x+a（a≥1），求f（x）在[-2，2]上的最大值M和最小值m，分析对称轴x= =1- .

说明：从表面上看，本题貌似存在两个参数，讨论起来很困难，事实上它的对称轴范围可以得到，很容易判断在区间上哪个点最高和最低.

（6）重视题根

一道综合题往往可以分解成几个小题，只要找到题根，挖掘题根，才能“枝繁叶茂”，才能“开花结果”，课堂教学效率才会大大提高.

教学的设计2：y=x+ 模型应用设计

对勾函数是高中重要函数模型，新生对于函数模型的学习、掌握并不非常扎实，我从2013年湖北高考文科的一道选择题出发，主要讲述两个知识点：其一是如何分析实际应用题的条件转化为数学关系式；其二是分析数学模型中的一种特殊形式：y=x+ 的应用.

（1）模型回顾

先简单回顾现阶段我们主要学过的函数模型类型，然后引入本课的正题：y=x+ 型函数模型.为了更好地讲述该模型，先通过几何画板分析函数y=x+ 的特点，主要对a分大于0，小于0，以及等于0的几种情况分析其单调性，从而为后续中在哪里取到最值做好准备.然后通过两个实际应用题说明该模型类型的应用.

（2）实例数学化

例题：（2012江苏高考）建立平面直角坐标系xoy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点，已知炮弹发射后的轨迹在方程为y=kx- （1+k ）x （k>0）表示的曲线上，其中与发射方向有关，炮的射程是指炮弹落地点的横坐标，（1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它，请说明理由.

说明：通过该例题，首先引导学生如何审题，如何进行数学阅读，继而在导出关系式后，找到函数模型y=x+ （a>0）在此题中的应用，让学生把实际应用问题转化为数学语言及数学符号.最后对本微型课进行小结，主要还是从两方面入手，一是如何进行数学应用题的阅读和归纳，二是如何对模型进行转化和应用.

（3）自主小结

请学生对于应用型问题进行总结，分析很多数学实际问题均有着高中数学重要函数模型的背景，需要学生在学习过程中不断训练和总结，不断归纳和探索题根.

总之，函数模型是高中数学最典型、最重要的数学运用于生活实际的典型，题根式教学设计在于将数学知识整合教学提升到了一个新的高度，有助于增强教学的针对性和实效性.诸如本文函数题根为例，在高考中函数模型的考查依旧是数学与生活相连考查最密切的地方，教师教学中引导学生加强对于函数模型题根的观察、训练和总结，有助于学生在后续学习中提高通过现象观测本质的能力.

参考文献：

[1]宋卫东.从生“动”到生动，诠释思维品质的提升[J].中学数学月考，2013，5.

[2]方厚石.函数教学诠释思维品质[J].数学通讯，2014，1.