审辨差异 异中求同

文／王伟春

在实际的解题过程中，许多同学因为分不清“有放回地取”“不放回地取”“一起取”三种模型的区别而导致失分。下面，老师将通过三个例题的讲解来区分三种模型，从而帮助同学们找出规律，解决概率中的难点。

模型一：有放回地连续取两次

例1 （2021·江苏南通）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4。

（1）随机摸取一个小球的标号是奇数，该事件的概率为________；

（2）随机摸取一个小球后放回，再随机摸取一个小球。求两次取出小球标号的和等于5的概率。

【分析】（1）直接利用概率公式求解即可求得答案；（2）首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与两次取出的小球和是5的结果，再利用概率公式求解。

（2）列表格如下：

第一个和第二个_____1 2__________________3__________________4 1 2_____3 4_____5_____2 3_____4 5_____6_____3 4_____5 6_____7_____4 5__6__7___8___

由表格可知，共有16 种等可能的结果，两次取出小球标号的和等于5的结果有4种，

模型二：不放回地连续取两次

例2 （2021·江苏常州）在3张相同的小纸条上，分别写上条件：①四边形ABCD是菱形；②四边形ABCD有一个内角是直角；③四边形ABCD的对角线相等。将这3张小纸条做成3支签，放在一个不透明的盒子中。

（1）搅匀后从中任意抽出1 支签，抽到条件①的概率是________；

（2）搅匀后先从中任意抽出1 支签（不放回），再从余下的2支签中任意抽出1支签。四边形ABCD同时满足抽到的2 张小纸条上的条件，求四边形ABCD一定是正方形的概率。

【分析】（1）因为3 支签被抽到是等可能的，所以可以直接利用概率公式求解；（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果为6 种，再根据题目要求利用概率公式求解即可。

（2）画树状图如下：

由树状图可知，共有6 种等可能的结果，四边形ABCD一定是正方形的结果有4种，

模型三：一次取两个

例3 （2021·江苏盐城）圆周率π 是无限不循环小数。历史上，祖冲之、刘徽、韦达、欧拉等数学家都对π有过深入的研究。目前，超级计算机已计算出π 的小数部分超过31.4万亿位。有学者发现，随着π小数部分位数的增加，0～9 这10 个数字出现的频率趋于稳定，接近相同。

（1）从π 的小数部分随机取出一个数字，估计数字是6的概率为________；

（2）某校进行校园文化建设，拟从以上4位科学家的画像中随机选用2 幅，求其中有一幅是祖冲之的概率。（用画树状图或列表方法求解。）

【分析】（1）根据“随着π 小数部分位数的增加，0～9 这10 个数字出现的频率趋于稳定，接近相同”即可判断结果；（2）首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与其中有一幅是祖冲之的情况，再利用概率公式求解即可。

（2）将祖冲之、刘徽、韦达、欧拉四位数学家分别记作甲、乙、丙、丁，列表格如下：

第一幅结果甲乙丙丁第二幅_______________________________________甲______________乙______________丙______________丁乙，甲甲，乙________甲，丙_甲，丁_丙，甲丙，乙_乙，丙________乙，丁_丁，甲丁，乙丁，丙丙，丁_______

由表格可知，共有12 种等可能的结果，其中有一幅是祖冲之的有6种结果，