细心阅读 深入理解 综合运用——点击2021年中考概率新题型

文／施晓丹

概率是研究不确定现象的数学模型，也是中考考查的热点内容之一。近年来，各地中考试题中出现了一些背景丰富、题型新颖的概率题，对同学们的阅读理解、综合分析、实际应用等能力提出了新的要求。下面，我们就一起走进2021年中考，看一看概率新题型。

例1 （2021·湖北十堰）为庆祝中国共产党成立100 周年，某校举行党史知识竞赛活动。赛后随机抽取了部分学生的成绩，按得分划分为A、B、C、D四个等级，并绘制了如下不完整的统计表和统计图。

_____________等级____A B________________C____D成绩（x）______90≤x≤100 80≤x＜90 70≤x＜80________x＜70人数__15___a____18___7____

根据图表信息，回答下列问题：

（1）表中a=________；扇形统计图中，C等级所占百分比是________；D等级对应的扇形圆心角为________度；若全校共有1800名学生参加了此次知识竞赛活动，请估计成绩为A等级的学生共有________人。

（2）若95 分以上的学生有4 人，其中甲、乙两人来自同一班级，学校将从这4 人中随机选出两人参加市级比赛，请用列表或画树状图法求甲、乙两人至少有1 人被选中的概率。

【分析】（1）先由A等级的圆心角度数和人数，求出样本总数，作差即可得到a的值，再根据C和D占总人数的比例，求出百分比或圆心角度数，利用样本估计总体的方法求出全校成绩为A等级的人数。

（2）利用“树状图”或“表格”，列出所有等可能的结果，根据概率公式即可求解。

（2）记这4 人分别为甲、乙、丙、丁，用树状图列出所有等可能的结果：

共有12 种等可能的结果，其中甲、乙两人至少有1人被选中的结果有10种，

【点评】本题综合考查了统计与概率的相关知识，我们要认真阅读、观察、分析扇形统计图和统计表，从中准确获取相关信息。计算等可能条件下事件发生的概率时，可以通过列表或画树状图法，不重复、不遗漏地列出所有等可能出现的结果。

例2 （2021·四川成都）我们对一个三角形的顶点和边都赋给一个特征值，并定义：从任意顶点出发，沿顺时针或逆时针方向依次将顶点和边的特征值相乘，再把三个乘积相加，所得之和称为此三角形的顺序旋转和或逆序旋转和。如图1，ar+cq+bp是该三角形的顺序旋转和，ap+bq+cr是该三角形的逆序旋转和。已知某三角形的特征值如图2，若从1，2，3 中任取一个数作为x，从1，2，3，4 中任取一个数作为y，则对任意正整数z，此三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差都小于4的概率是________。

图1

图2

【分析】首先，同学们要通过阅读，理解什么是“顺序旋转和”与“逆序旋转和”，然后根据定义，用代数式表示“三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差”，最后画出树状图或列出表格求解。

解：根据题意，得

此三角形的顺序旋转和为4x+2z+3y，

此三角形的逆序旋转和为3x+2y+4z，

∴（4x+2z+3y）-（3x+2y+4z）=x+y-2z＜4，

∴x+y＜4+2z。

用表格列出所有等可能的结果：

x+y___x y 1_________________2_________________3 1 2 3_____4_____2 3 4_____5_____3 4 5_____6_____4 5___6__7__

【点评】本题以一个新定义为问题背景，设计了一道求概率的题目，在考查用列表法或画树状图法求概率的同时，考查了同学们的阅读理解能力和推理能力。运用“表格”或“树状图”能不重复、不遗漏地列出所有等可能出现的结果。对于两步能完成的事件，且所有等可能出现的结果数较少时，运用这两种方法求解都比较有效；对于两步能完成的事件，且所有等可能出现的结果数较大时，运用“表格”则显得较为清晰、便捷；对于三步能完成的事件，则一般运用“树状图”较为方便。

例3 （2021·福建）“田忌赛马”的故事闪烁着我国古代先贤的智慧光芒。该故事的大意是：齐王有上、中、下三匹马A1，B1，C1，田忌也有上、中、下三匹马A2，B2，C2，且这六匹马在比赛中的胜负可用不等式表示如下：A1＞A2＞B1＞B2＞C1＞C2（注：A＞B表示A马与B马比赛，A马获胜）。一天，齐王找田忌赛马，约定：每匹马都出场比赛一局，共赛三局，胜两局者获得整场比赛的胜利。面对劣势，田忌事先了解到齐王三局比赛的“出马”顺序为上马、中马、下马，并采用孙膑的策略：分别用下马、上马、中马与齐王的上马、中马、下马比赛，即借助对阵（C2A1，A2B1，B2C1）获得了整场比赛的胜利，创造了以弱胜强的经典案例。

假设齐王事先不打探田忌的“出马”情况，试回答以下问题：

（1）如果田忌事先只打探到齐王首局将出“上马”，他首局应出哪种马才可能获得整场比赛的胜利？并求其获胜的概率；

（2）如果田忌事先无法打探到齐王各局的“出马”情况，他是否必败无疑？若是，请说明理由；若不是，请列出田忌获得整场比赛胜利的所有对阵情况，并求其获胜的概率。

【分析】（1）通过理解题意分析得出结论，用列举法求出获胜的概率；（2）通过列举齐王的出马顺序和田忌获胜的对阵，求出概率。

解：（1）田忌首局应出“下马”才可能在整场比赛中获胜。

此时，比赛的所有可能对阵为：（C2A1，A2B1，B2C1），（C2A1，B2C1，A2B1），（C2A1，B2B1，A2C1），（C2A1，A2C1，B2B1），共4种。

其 中 田 忌 获 胜 的 对 阵 有（C2A1，A2B1，B2C1），（C2A1，B2C1，A2B1），共2种，

（2）不是。

齐王的出马顺序为A1，B1，C1时，田忌有6种对阵方式，其中获胜的对阵是（C2A1，A2B1，B2C1）；

齐王的出马顺序为A1，C1，B1时，田忌有6种对阵方式，其中获胜的对阵是（C2A1，B2C1，A2B1）；

齐王的出马顺序为B1，A1，C1时，田忌有6种对阵方式，其中获胜的对阵是（A2B1，C2A1，B2C1）；

齐王的出马顺序为B1，C1，A1时，田忌有6种对阵方式，其中获胜的对阵是（A2B1，B2C1，C2A1）；

齐王的出马顺序为C1，A1，B1时，田忌有6种对阵方式，其中获胜的对阵是（B2C1，C2A1，A2B1）；

齐王的出马顺序为C1，B1，A1时，田忌有6种对阵方式，其中获胜的对阵是（B2C1，A2B1，C2A1）。

综上所述，田忌获胜的所有对阵是（C2A1，A2B1，B2C1），（C2A1，B2C1，A2B1），（A2B1，C2A1，B2C1），（A2B1，B2C1，C2A1），（B2C1，C2A1，A2B1），（B2C1，A2B1，C2A1）。

【点评】本题以“田忌赛马”的故事为问题背景，考查简单随机事件的概率等基础知识，也考查了统计与概率思想，对同学们的推理能力、应用意识的要求较高。列举出所有对阵情况，是解题的关键。