原来它们是“一伙”的——从一道习题想到的

文／江苏省盐城市毓龙路实验学校 孙天瀚

习题呈现（苏科版数学八年级上册第36页第11题）：

如 图1，AC⊥BC，DC⊥EC，AC=BC，DC=EC。图中AE、BD有怎样的数量关系和位置关系？试证明你的结论。

图1

我发现△ACE绕点C逆时针旋转可与△BCD重合。于是，我的解题思路是：证明△ACE≌△BCD，依据是“SAS”，进而发现AE=BD，AE⊥BD。

在解决这个问题的过程中，要先通过∠DCE=∠ACB=90°，证得∠ACE=∠DCB。我仔细琢磨，几番思考：题中给出了“AC⊥BC，DC⊥EC”，为什么要强调“垂直”呢？

我尝试将“AC⊥BC，DC⊥EC”改为“∠DCE=∠ACB=60°”，如图2，同样也可证得∠ACE=∠DCB，进而证明△ACE≌△BCD，这样，结论AE=BD仍然成立。但是AE⊥BD不成立，这时可以求出AE与BD相交成的锐角为60°。

图2

如 果 将“AC⊥BC，DC⊥EC”改 为“∠DCE=∠ACB=45°”，如图3，同样也可证明△ACE≌△BCD，结论AE=BD仍然成立，AE⊥BD不成立，但可以求出AE与BD相交成的锐角为45°。

图3

于是，我就想到了更一般的情况，将“AC⊥BC，DC⊥EC”改为“∠DCE=∠ACB=α（0°＜α＜90°）”，如图4，类似地证明△ACE≌△BCD，发现AE=BD，AE与BD相交成的锐角为α。如果将“AC⊥BC，DC⊥EC”改为“∠DCE=∠ACB=α（90°＜α＜180°）”，如图5，同样可证得AE=BD，AE与BD相交成的锐角为180°-α。

图4

图5

在学习中，我发现类似这样的问题会经常遇到，而且它们都是“一伙”的。因为不论是条件改变，还是图形变化，都可以用同样的方法去解决。

教师点评

小作者善于观察、比较、思考，通过解题后的反思，从特殊到一般，在图形的变化中，发现了问题的本质，自主探索发现了一类问题的解题策略。原来它们是“一伙”的，是一个了不起的发现。

（指导教师：单维娟）