从验证到推理的过渡——以“三角形内角和定理”证明为例

■李洪涛

（作者单位：山东省肥城市龙山中学）

三角形内角和定理是青岛版《数学》教材八年级上册第5章“几何证明初步”第5节的内容，是学生在学习了平角、平行线的性质和判定的基础上，进一步探索定理的证明。学生既需要综合运用已有的知识，又需要学习掌握首次引入添加辅助线的方法。

本节课要帮助学生掌握定理的证明、添加辅助线的方法并能灵活运用，培养逻辑思维和符号语言表达能力，提高动手操作、自主探索、合作学习的能力。帮助学生经历三角形内角和定理不同方法的推理证明过程，培养学生的求异思维和创造思维，体验解决问题的成就感，体会数学证明的严谨性和推理的意义，培养学习数学的兴趣，感悟逻辑推理的数学价值。

一、点动角度，导入新课

活动一：如图1，在△ABC的AB边上分别取D、E两点，连接线段CD、CE。（1）观察△ABC、△ADC、△AEC的内角，∠A是它们的什么角？（2）发现它们的另两组内角的变化规律是∠ACB→∠ACD→∠ACE变小，而∠ABC→∠ADC→∠AEC变大，为什么会出现这种现象？

活动二：利用几何画板演示一个三角形从2个角变化的情形到3个角都变化的情形，帮助学生进一步感知三角形的内角和是多少度。

设计意图：活动中教师通过点动、角变的设计，使得学生对空间观念做定向关注：位置关系的变化。引发三角形内角量变的特征是，有角变大，必须有角变小。从而启发“三角形内角和是一个定值”。

图1

二、实验操作，证明定理

设问：三角形三个内角的和是多少度？你是怎样知道的？

教学中一般在学生初步感知到它们的内角和是180°的基础上，再用实验操作的方法加以验证。学生在小学认识三角形内角和时，所了解的验证方法一般有如下三种，为此引导学生进行以下三个实验。

实验一用量角器量出三个内角的度数，然后求和验证。

测量计算是学生比较熟悉的探究思路，教师在学生操作的基础上用几何画板演示。

设计意图：该实验使学生认识到受测量中精确度以及测量误差的影响，通过测量得到的三个内角的和很可能会出现不等于180°的情形。即便是利用“几何画板”度量、计算，貌似可以得到准确值，但事实上软件系统在近似运算中掩藏了测量的误差，误差可能依然存在。

实验二沿三角形的一条中位线上下对折，然后把另两个角左右对折，折出一个平角加以验证，如图2。

图2

学生探究交流：如图3，把∠A向下折，折时注意平行，使∠A的顶点落在它的对边上，即形成∠1。再折∠B、∠C，使∠B、∠C的顶点都与∠1的顶点重合，即形成∠2、∠3。发现∠1、∠2、∠3恰好组成一个平角，即∠1+∠2+∠3=180°，由此得到三角形的内角和是180°。

图3

设计意图：学生轻松一折就初步验证了三角形三个内角可以拼在一起形成一个平角，体验解决问题的成就感和动手的乐趣。

实验三把三个角剪下来拼成一个平角加以验证。

在学生探究各种拼法后，教师进行动画演示。

想一想我们拼角的目的是什么？（改变角的位置。）

如果不移动角，我们还可以通过什么方法来改变角的位置？（添加辅助线。）

学生活动：小组讨论，通过拼图方案，添加辅助线构建图形，证明定理。

比一比，哪个小组的方法多？证明过程引导学生书写或口头表达。

设计意图：通过小组讨论交流，每个学生都成为课堂的参与者，变传统教学中的被动接受为主动探索，激发学习的积极性和创造性。鼓励学生倾听他人的方法和思路，从中受益，培养合作探究精神。多让学生发言，有意识地培养语言表达能力和逻辑思维能力。

设问：以上方法都是通过作平行线构造出相等的同位角或内错角，把三个内角转化到同一个顶点处，再证明它们的和构成一个平角。除此之外还有其他不同的思路和方法吗？

学生活动：小组讨论，归纳总结。

三角形内角和是180°，由“和”“180°”你能联想到什么？

师生归纳：通过两直线平行，同旁内角互补可得到如下添加辅助线的方法（如图4）。

图4

设计意图：以上每一种添线方法的逻辑推理由学生进行交流，然后写出证明过程。此处的添加辅助线的方法与前面的添加方法进行对比思考，体会数学思想的奥妙。无论是实验中三角形的剪拼还是在几何图形中添加的辅助线，其实质都是将分散的三个相关元素即三个内角有效地聚集在一起。而不同辅助线的作法的出发点以及作辅助线的目的都是实现相关元素的有效聚集。

师：认真观察教科书第171页的图5-6，回顾此证明方法，你还能有什么发现吗？

生：（1）图中∠ACD是△ABC的一个外角，从三角形内角和定理的证明过程中容易发现它正是∠A、∠B两个角的和。

（2）∠ACD=∠A+∠B，在这个等式中，如果去掉∠B 则有∠ACD＞∠A，如果去掉∠A则有∠ACD＞∠B。

（3）由此可得：

推论1：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；

推论2：三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角。

设计意图：推论的获得主要有两种办法：一种是与图形的其他元素、条件相结合推导出一些新的结论，即推论。教科书的这部分内容即是如此，它将三角形的内角与外角结合起来，推导得到三角形外角的两条性质。另一种是将条件强化，即增加一些新的限制条件，研究特殊图形的性质，例如后续课中的“直角三角形两锐角互余”。由于学生是首次接触推论，所以务必使学生感受到“推论”到底是怎么回事。推论蕴含在原定理思维之中？推论是原定理的一种简单变形？推论是原定理的副产品？启发学生在自己的学习实践中，当解决了一个问题后要再回顾一下，再想一想，养成“回头看”的好习惯，从而提高学习的效率。

三、运用新知，提升能力

例1 如图5，已知AB∥CD，求证：

∠AMN+∠MNF+∠NFC=360°。

师：这个问题我们以前是如何解决的？

生：如图6，过点N，作NE∥AB，即可证明。

图5

图6

图7

师：我们能否用今天学到的新知识解决这个老问题？

生：如图7，连接MF，即可证明。

设计意图：学生意识到每当知识更新后，解决问题的途径及方法也随之丰富了，不同方法的运用，能相互促进，强化学习。学生对学到的知识能仔细揣摩，真正理解其含义，把知识灵活运用到解决问题中去，由浅入深地达到熟能生巧的目的。

例2 如图8，已知直线AB∥CD，BE平分∠ABC，交CD于D，∠CDE=150°，求∠C的度数。

设计意图：强化学生熟练运用定理的能力，增强学以致用的信心和乐趣。

图8

四、感悟收获，巩固训练

1.这节课你学到了什么？你收获了什么？

2.独立完成教科书第172页的练习1、2两题。

设计意图：教师引导学生踊跃发言，谈各自对这节课的感受和体会；对学生还有困惑的地方，教师及时给予解惑。

五、教学反思

本节课的教学中，三角形的剪拼，证明定理时如何添加辅助线的探讨，往往耗时较多，因此课前必须周密地计划好，在课堂上争取有条理有层次地引导学生有序推进。

操作探究得到的结论，一般只是一种合情推理基础上的猜想，其中包含有一定程度近似运算的思想。譬如“剪拼”中发现三个内角拼成一个平角，这里“拼成一个平角”更多依靠的是操作者在观察基础上的近似判断。在教学中，教师应引导学生认识到这种“动手操作”是发现数学结论的常用手段之一。但教学的重点不在如何剪拼上，而是如何从“剪拼”前后图形变化中发现隐藏的一般性规律，并将这个规律用数学符号语言或文字叙述表述成相对精练的“一般结论”。教学中引导学生认识到这一点，学生才能充分理解推理证明的必要性。

课堂上，教师的“导”立足于学生的“学”，学生通过动手操作和合作交流，主动参与到知识形成的思维中，将抽象的逻辑证明和直观探索联系起来，成功实现了从合情推理到演绎推理的转变，坚持了学生是主体、教师是主导的教学理念。

图9

课堂教学可以充分利用几何画板辅助的作用，将知识形象化、动态化。“静”中生“动”，“动”中求“静”，重视数学思想方法的渗透，激发学生学习数学的兴趣，培养学生的思维能力。例如，在课堂活动二中，利用课件演示，三角形的BC边不动，把顶点A“压”向BC，∠A越来越大，使其趋近于180°，而∠B与∠C的和越来越小，趋近0°，如图9；三角形的BC边不动，把顶点A“拉离”BC，∠A越来越小，使其趋近于0°，而∠B与∠C的和越来越大，它们的和越来越接近180°（图略）。这样学生便能容易“看到”结论，如此教学也顺便给学生“种上”了数学极限的思想。