基于问题的探索型数学实验教学——以“蚂蚁怎样爬行，路线最短”教学设计为例

■陆祥雪

（作者单位：江苏省泰州中学附属初级中学）

初中数学实验是通过动手、动脑学数学的一种学习活动，是学生运用有关工具，在数学思维参与下进行的一种以人人参与的实际操作为特征的数学验证或探究，是帮助学生直观地理解数学知识，感悟数学思想和积累基本活动经验的辅助课程，是初中阶段国家数学课程的一种补充。初中数学实验的类型，概括起来有三种：验证型、理解型、探索型。验证型实验，可以帮助学生通过实验检测、验证已得结论或猜想的正确性，从而更直观地获得对数学知识的理解；理解型实验，是以学生理解数学概念、定理等数学知识为目的的数学实验；探索型实验，是以探索未知结论为目的的数学实验。探索型数学实验更能培养学生的抽象、推理、模型等数学核心素养，与物理、化学、生物等实验获取经验事实和检验科学假说、理论真理性的目的具有相似性，能够与这些学科融通。下面以“蚂蚁怎样爬行，路线最短”为例，谈谈基于问题的探索型数学实验教学。

一、教学过程设计

1.问题呈现，解法质疑。

问题1：如图1，圆柱的底面直径为6厘米，高为10厘米，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点A爬到点B的最短路程是多少厘米？（结果保留一位小数）得：A

图1

图2

解答2.蚂蚁沿图1中的折线A→C→B（简称为路线2）爬行，路线最短，最短路程为：10+6=16（厘米）。

综合解答1和解答2，可知蚂蚁爬行的最短路程是13.74厘米。

由学生的解答，教师引导学生提出问题2：是否存在沿路线2爬行，路程最短的情况？怎样来探究这个问题？

设计意图：从教育的角度看，把数学实验作为一种教学方法引入课堂，有独特的教育功能和价值。众所周知，科学研究从观察、实验开始，通过抽象思维、推理论证而获得结论。这里“实验”的目的在于观察实际现象，得到具体数据，而抽象思维、推理论证则是为了分析不同现象的内在联系，认识数据中蕴含的规律性，从而获得科学发现，实现发明创造。这个问题如果通过具体的实验让学生“做”，相当于让学生经历一个“科学研究”的过程，对学生智力的发展、创造能力的培养、科学方法的形成都有很大的帮助。

2.操作实验，继续质疑。

实验器材：底面直径为6厘米、高为10厘米的圆柱，橡皮筋，细线，直尺。将它们组合成如图3所示的工具。

学生可能出现的解答有：

解答1.圆柱的侧面展开图如图2，蚂蚁爬行的最短路线是线段AB（简称为路线1），由题意可得：AC=10（厘米），BC=3π（厘米）。由勾股定理，

实验步骤：通过改变橡皮筋的位置，改变圆柱的高度；利用细线测量在不同高度、相同底面半径的圆柱上，两种爬行路线的长度。

填写实验记录表：

圆柱高度（厘米）4.5 8沿图1中A→C→B爬行路线长度a（厘米）14 10.5 a与b的大小关系a＞b a＞b a＜b a＜b 3 2 9 8沿图2中A→B爬行路线长度b（厘米）12.1 10.6 10.1 9.6

师生观察实验结果。教师引导学生提出问题3：蚂蚁在圆柱表面爬行，怎样爬行路程最短？若圆柱底面圆半径不变，爬行路程与圆柱的高度有关吗？如果有，它们之间的关系是什么？

设计意图：圆柱的大小涉及两个变量，即底面圆的直径和圆柱的高。考虑到实验的可操作性，决定改变圆柱的高度，这个可以通过橡皮筋位置的改变来达到。学生通过实际操作、测量，动手能力得到锻炼，同时也学会了利用表格整理实验数据。师生通过对实验结果进行观察，提出问题，将实验结果上升到理性层面，培养了学生数学抽象的核心素养。

3.探究解疑，形成结论。

设圆柱的半径为r，圆柱的高为h，可得下列结论：

设计意图：通过数学推理，具体说明在圆柱底面圆半径不变的情况下，圆柱的高的变化，影响蚂蚁爬行的最短路线方式的选择。实现由感性认识到理性认识的飞跃，使学生体会到对事物的认识不能停留在实验结果的直观感知上，要深究问题的本质，培养学生对问题的探究意识，体会数学证明的必要性，培养学生科学研究的态度。在解决问题的过程中，培养学生用符号语言来表达推理过程的数学表达能力以及用模型思想来解决实际问题的能力。

4.反思变式，拓展延伸。

问题2：如果圆柱的高不变，圆柱底面圆半径改变，结论会怎样呢？

设计意图：把问题进行变式，改变变量，让学生思考，将学生的学习由课堂延伸到课外，使问题的研究更加完整。

二、几点思考

1.数学实验教学的意义。

数学实验给学生的数学学习带来的影响是全方位的。在认知方面，主要给学生的学习方式带来实质性变化。学生通过实物实验，经历测量，记录数据，整理、分析数据，提出问题，猜想结论，推理、验证结论等一系列过程，而这一系列流程也是科学实验的一般流程。很明显，学生在实验中要手脑并用，调动多种感觉器官参与数学认知活动，而非被动接受知识。在非认知方面，数学实验能极大激发学生的兴趣，引发学生的好奇心，调动学生的学习热情。积极的情感体验是激发灵感的强大动力，可以促使创造性思维的产生。

2.探索型数学实验的内容

。

实验内容可以来自教材，也可来自教材外的材料。取材小，目标指向明确，问题的结论清楚，这样易于学生操作，耗时有限，实验结果易得。上文中的材料来自学生的课外习题，实验目的明确，最终借助学生所学的数学知识解决问题。数学实验的内容要利于促进学生思维发展，对学生数学综合能力、数学核心素养的培养有利。在这个课例中，从具体的数据观察到抽象出“在底面圆半径不变的情况下，蚂蚁爬行的最短路程与圆柱的高有关”的结论，然后通过数学符号来表达，建立方程、不等式模型，学生的分类思想、运算能力都得到了培养。

3.探索型数学实验的实施。

在进行初中数学实验课程设计时，要明确实验的目标，让实验设计合理，符合学生的认知规律和实验潜质。数学实验实施时，遵循可行性、多样性原则，如动手操作的方式、演绎推理的方式等，也可以借助计算机来进行实验。本课例若选择借助计算机来实验，就难以实现实验的目的。借助实物动手操作，学生易亲力亲为。因此，在实验设计时，应根据实验内容采用适当方法，在设计时需要从实验目的、实验工具、实验类型以及指向何种核心知识、能力等方面通盘考虑。下列的流程图可作为参考：