中考题的“源头活水”在教材

文张浩杰

纵观各地的中考数学试题，总能发现有些试题直接来源于教材中的习题或例题。如果我们在平时的数学学习过程中，能够关注到这一点，充分挖掘教材习题、例题的价值，将会让我们的学习过程充满挑战感，也必将为我们的数学学习插上腾飞之翼。

例（2019·黑龙江绥化）如图1，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，则∠A= 度。

图1

图2

【思路解析】从已知条件中，我们发现该图中存在三个等腰三角形，则可以利用等腰三角形的性质及三角形内（外）角和定理打通角与角之间的联系，联合方程思想，进而解决问题。

【解法呈现】∵BD=AD，

设∠A=∠ABD=x°，

∴∠BDC=2x°。

∵BD=BC，

∴∠C=∠BDC=2x°，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C=2x°，

∴x+2x+2x=180，

即x=36，

∴∠A=36°。

【教材之影】苏科版《数学》八年级上册第2章第5节“等腰三角形的轴对称性”习题第7题。

如图2，∠C=36°，∠B=72°，∠BAD=36°。

（1）求∠1和∠2的度数；

（2）找出图中的等腰三角形。

【变式探究】

（1）如图1，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC。证明：△DCB为等腰三角形。

（2）如图1，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC，BD∶DC=m∶n。求△ABD与△BDC的面积比。

（3）如图1，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC，BD=m，DC=n。求△ABD的周长。

（4）如图3，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°。仿照图4，请你再设计两种不同的分法，将△ABC分割成3个三角形，使得每个三角形都是等腰三角形。（注：如果两个图中分割出的3个三角形分别全等而只是分割线的具体位置不同，则视为同一种分割方法。）

图3

图4

提示：如图5、图6、图7。

图5

图6

图7

（5）如图8，把等边三角形ABC分成四个等腰三角形。

图8

提示：（1）如图9，取三边中点D、E、F，连接DE、DF、EF；（2）如图10，取三边中点D、E、F，连接DE、AE、EF。

图9

图10

【同类链接】

（2019·浙江衢州）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图11所示的“三等分角仪”能三等分任一角。这个“三等分角仪”由两根有槽的棒OA、OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动。C点固定，OC=CD=DE，点D、E可在槽中滑动。若∠BDE=75°，则∠CDE的度数是（ ）。

A.60° B.65° C.75° D.80°

图11

提示：∵OC=CD=DE，

∴∠O=∠CDO，∠DCE=∠CED，

∵∠DCE=2∠O，

∴∠EDB=3∠O=75°，

∴∠O=25°，∠CED=∠ECD=50°，

∴∠CDE=80°，故选D。