“三角形”典型中考题剖析

万广磊

“三角形”典型中考题剖析

万广磊

“三角形”是多边形中最基本的图形，其中重要的知识包括三角形的内角和定理、三边不等关系、“五线”（高线、中线、角平分线、垂直平分线和中位线）的性质、全等与相似的性质与判定、等腰三角形、直角三角形的性质与判定等，内容丰富，题型新颖，解法灵活，一直是中考命题的核心内容.

一、三角形的内角和定理

例1（2016·鄂州）如图1所示，AB∥CD，EF⊥BD，垂足为E，∠1=50°，则∠2的度数为（）.

图1

A.50°B.40°C.45°D.25°

【解析】本题考查了平行线的性质及垂直、三角形内角和定理.因为EF⊥BD，∠1=50°，所以在△DEF中，∠D=90°-50°=40°，又因为AB∥CD，所以∠2=∠D=40°，故选B.

【评析】解决本类问题常用的方法是利用平行线的性质“两直线平行，同位角相等”转移角度.

二、三角形的三边关系

例2（2016·南京）下列长度的三条线段能组成钝角三角形的是（）.

A.3，4，4B.3，4，5

C.3，4，6D.3，4，7

【解析】本题考查了三角形三边不等关系与勾股定理.运用三角形三边不等关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，判定各选项的三边是否可以组成三角形.首先排除选项D，因为3+4=7，不能构成三角形；然后再用勾股定理判断，因为3和4的平方和等于5的平方，这是直角三角形，排除B选项；再观察A选项，最长边为4，小于5，肯定是锐角三角形；而选项C中，最长边为6，大于5，一定是钝角三角形，故选C.

【评析】对于三角形的形状判定，除了用三角形中最大角的判定方法外，还可结合勾股定理判定：锐角三角形的两条较短边的平方和大于最长边的平方，直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，钝角三角形的两条较短边的平方和小于最长边的平方.

三、三角形的“四线”

例3（2016·恩施）如图2，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，△ABC的周长为19cm，△ABD的周长为13cm，则AE的长为（）.

A.3cmB.6cm

C.12cmD.16cm

图2

【解析】本题考查线段垂直平分线的定义及性质.由DE是AC的垂直平分线，得AE=CE，AD=CD.因为△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+ BD+CD=AB+BC=13cm，△ABC的周长=AB+ BC+AC=19cm，所以AC=6cm，则AE=AC=×6=3cm，故选A.

【评析】线段的垂直平分线可以让等长线段通过旋转移动位置，而求与线段的垂直平分线有关的三角形的周长、线段的长时，常常会用到转化和整体思想.

例4（2016·南充）如图3，在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=1，点D，E分别是直角边BC，AC的中点，则DE的长为（）.

图3

A.1B.2C.3D.1+3

【解析】本题考查了三角形中位线定理和直角三角形的性质.因为在Rt△ABC中，∠C= 90°，A=30°，所以AB=2BC=2.而点D，E分别是AC，BC的中点，△ACB的中位线DE=AB=1.故选A.

【评析】由三角形的中点条件计算线段的长，可以考虑三角形的中位线定理.遇有锐角为30°的直角三角形要考虑30度角所对的直角边等于斜边的一半.

四、折叠三角形

例5（2016·南充）如图4，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合得到折痕EF，将纸片展平，再一次折叠，使点D落到EF上G点处，并使折痕经过点A，展平纸片后∠DAG的大小为（）.

图4

A.30°B.45°C.60°D.75°

【解析】本题考查了翻折变换的性质以及平行线的性质.如图5，由题意可得∠1=∠2，AN=MN，∠MGA=90°，则NG=AM=AN，得∠2=∠4，由EF∥AB，所以∠4=∠3，则∠1=∠2=∠3=×90°=30°，所以∠DAG=60°.故选C.

【评析】矩形的翻折通常和等腰三角形、等边三角形相关，除了运用全等三角形的知识，还要用到直角三角形的性质、平行线的性质等进行角度的转换.

五、等腰三角形

例6（2016·滨州）如图6，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC=CD=BD= BE，∠A=50°，则∠CDE的度数为（）.

图6

A.50°B.51°

C.51.5°D.52.5°

【解析】本题考查等腰三角形的两个底角相等和三角形的内角和定理的运用.先根据AC=CD，得∠ADC=∠A=50°，再由CD=BD，可知∠B=∠BCD，从而求出∠B=∠ADC-∠BCD= 25°；由BD=BE，∠BDE=∠BED=77.5°，最后根据∠ADC+∠CDE+∠BDE=180°，得∠CDE=180°-∠ADC-∠BDE=52.5°.

【评析】等腰三角形的“等边对等角”的性质用来推导出两角相等，然后再运用三角形的内角和定理计算相关角度．

六、直角三角形

例7（2016·东营）在△ABC中，AB=10，AC=2 10，BC边上的高AD=6，则另一边BC等于（）.

A.10B.8C.6或10D.8或10

【解析】本题考查勾股定理和分类讨论思想.如图7所示，

在Rt△ABD中，

在Rt△ACD中，

所以BC=BD+CD=8+2=10.

如图8所示，同理求出BD=8，CD=2，所以BC=BD-CD=8-2=6.故选C.

图8

图7

【评析】解答本题要根据题意画出相应的图形.易出现漏解的错误：只考虑高在三角形内部的情况，忽视高在外部的情况.

例8（2016·武汉）如图9，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，CD=10，DA= 5 5，则BD的长为．

图9

【解析】本题考查了勾股定理及其逆定理的运用、相似三角形的构造及其性质.

连接AC，过D作DE⊥BC交BC的延长线于点E.

【评析】解答本题的关键是先要根据题中的已知线段的数据发现Rt△ACD，得到AC⊥CD，再利用一线三等角模型构造相似三角形，从而将BD放到一个直角三角形中，最后利用勾股定理求解即可．

七、全等三角形

例9（2016·金华）如图11，已知∠ABC=∠BAD，添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD的是（）.

图11

A.AC=BDB.∠CAB=∠DBA

C.∠C=∠DD.BC=AD

【解析】本题考查三角形全等的判定方法.题目中已给出一组角相等，图形中有一条公共边，即已有一边及一角对应相等，再需要一边或一角相等即可.A选项与两已知条件构成SSA，不能确定两个三角形全等；B选项与两已知条件构成ASA，能确定两个三角形全等；C选项与两已知条件构成AAS，能确定两个三角形全等；D选项与两已知条件构成SAS，能确定两个三角形全等.故选A．

【评析】本题容易出错的地方是误以为有两边一角分别相等的两个三角形全等而错选．

例10（2016·常德）如图12，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OB于点C，且PC=3，点P到OA的距离为.

图12

【解析】本题考查了角平分线的性质.如图13，直接过P作PD⊥OA于D，根据“角平分线上的点到角的两边的距离相等”可得PD=PC，从而得解.故答案为3.

图13

【评析】求角平分线上的点到角的一边的距离，一般情况是过该点作这条边的垂线段，利用角平分线性质求解.

例11（2016·泰州）如图14，在△ABC中，AB=AC，E在BA的延长线上，AD平分∠CAE.

（1）求证：AD∥BC；

（2）过点C作CG⊥AD于点F，交AE于点G，若AF=4，求BC的长.

图14

【评析】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是证得△GAF∽△GBC.问题（1）是个基本问题：等腰三角形顶角的外角的角平分线平行于底边，比较容易解决.问题（2）中，根据∠CAD=∠EAD和CG⊥AD，很容易发现△AFC≌△AFG，得CF=FG=CG，再利用问题（1）所证“AD∥BC”得△GAF∽△GBC，问题得解.

扬州大学附属中学东部分校）