一道课本习题的追问探究

王宪成

一道课本习题的追问探究

王宪成

中考试题往往都能在课本例习题中找到“母题”，因为课本例习题具有典型性、示范性、基础性、探究性、可生长性等特点，是很多学科专家经过反复推敲、思考后的宝贵资源.重视课本例习题，善于追问、变式、改编是对课本例习题价值的提升，也是对课本例习题功能的再思考.

下面从一道课本习题出发加以追问、变式探究，以巩固同学们对三角形、等腰三角形、直角三角形、四点共圆等核心知识及方法的掌握.

【习题1呈现】苏科版《数学》八年级上册第74页习题10：

已知：如图1，∠ABC=∠ADC=90°，M、N分别是AC、BD的中点.

求证：MN⊥BD.

图1

【习题2呈现】苏科版《数学》九年级上册第42页习题4：

如图2，BD、CE是△ABC的高，M是BC的中点.点B、C、D、E是否在以点M为圆心的同一个圆上？为什么？

图2

【习题解析】

这两道课本习题都直接应用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一知识解决问题.习题1，点M是Rt△ABC和Rt△ADC公共斜边的中点，连接BM、DM，则BM=DM=AC，于是△BMD是等腰三角形，点N是底边BC的中点，显然由“等腰三角形三线合一”性质得知MN⊥BD成立.习题2，连接EM、DM，同理可得：EM=DM=BM=CM，于是，点B、C、D、E到点M的距离都相等，即点B、C、D、E是在以点M为圆心的同一个圆上.

基于八年级数学“等腰三角形”“勾股定理”核心知识，九年级“圆”相关知识、相似三角形、三角形内心等知识的学习巩固，及希望引导同学们站在“圆”的高度来回顾老问题，现将这两个问题进行整合，对问题不断追问思考，以期同学们有新的收获.

【追问1】如图3，BD、CE都是锐角△ABC的高，点M是BC的中点，连接EM、DM.

若∠A=60°，试判断△MDE的形状，并说明理由.

【解析】显然，在课本习题的基础上还是很快得到△MDE中EM=DM=BM=CM，

由∠A=60°可得∠ABC+∠ACB=120°，

而因为∠ABC=∠BEM，∠ACB=∠MDC，

则有∠ABC+∠ACB+∠BEM+∠MDC=240°，

所以，∠BME+∠CMD=360°-240°=120°，则∠EMD=60°，而又因为ME=MD，所以△MDE是等边三角形.

图3

【追问2】如图3，BD、CE都是锐角△ABC的高，点M是BC的中点，连接EM、DM.若有BC2=2DE2，求∠A的度数.【解析】因为EM=DM=BC，则2EM=2DM= BC，因为BC2=2DE2，（2EM）2=2DE2，化简整理得：2EM2=DE2，即有EM2+DM2=DE2成立.根据勾股定理逆定理得知：∠EMD=90°.由追问1反过来推得∠A=45°.

【追问3】基于以上的探究，如图3，若设∠A=x°，∠DME=y°，直接写出x与y的数量关系式.

【解析】∠ABC+∠ACB=180°-x°，∠ABC+∠ACB+∠BEM+∠MDC=360°-2x°

所以，∠BME+∠CMD=360°-（360°-2x°）= 2x°，则∠EMD=180°-2x°，即y=180-2x.

【追问4】结合前文习题2，站在九年级数学“圆”的知识高度，重新认识上面问题中∠A与∠DME的数量关系.

图4

【解析】点B、C、D、E是在以点M为圆心的同一个圆上.

由圆周角定理得知：∠EMD=2∠ABD，而∠ABD=90°-∠A.

于是，∠EMD=2（90°-∠A）=180°-2∠A.

【追问5】如图5，四边形ABCD中，BD⊥AD，AC⊥BC，且边AB、CD满足数量关系AB2= 2CD2.求∠DAB+∠ABC的值.

图5

【解析】其实，有了前面系列追问的铺垫，不难发现，取AB中点为M，连接DM、CM，则有DM=CM成立.

类似追问2，由条件AB2=2DC2可得：∠CMD=90°.因为点A、B、C、D是在以点M为圆心的同一个圆上.由圆周角定理得知：∠CMD= 2∠DAC，所以，∠DAC=45°，延长AD、BC交于点G，则△GAC是等腰直角三角形，于是∠G=45°，故∠DAB+∠ABC=180°-45°=135°.

【追问6】如图6，△ABC的高BD、CE相交于点H，且∠ABC=45°.

图6

（1）证明：BH=AC；

（2）点F、G分别是BH、AC的中点，连接EF、GE、FG，试判断△EFG的形状，并说明理由.

【解析】（1）要证明线段相等，可以考虑证明三角形全等，这是常用的方法，该题只要证明△BEH≌△CEA便能得到BH=AC成立.

（2）由第（1）小问的过渡，不难发现在Rt△BEH和Rt△CEA中，点F、G分别是BH、AC的中点，于是有EF=BH=EG=AC成立，即EF=EG.

易证：∠GEC=∠GCE，∠FEH=∠BHE，

又因为∠BHE+∠ACE=90°，

所以∠FEH+∠GEC=90°，即∠FEG=90°，所以△EFG是等腰直角三角形.

【追问7】如图7，△ABC的高BD、CE相交于点F，连接AF并延长交BC于点M，连接ED、EM、DM，则下列说法：①A、E、F、D四点在同一个圆上；②AM⊥BC；③EC平分∠DEM；④点F是△DEM的内心.其中正确的是______（.填序号）

图7

【解析】这一组问题都是基于前面基本问题自然生长的追问.如图8，对于命题①的证法可类比习题2的证明思路，命题成立；②AM⊥BC成立，在点B、C、D、E四点共圆，点A、E、F、

图8

【追问8】如图9，△ABC的高BD、CE相交于点F，连接ED.若AE=3，AD=4，AC=6，则

图9

【解析】事实上，习题2的基本图形还蕴含着相似三角形的经典图形——斜A型、8字型，本题可先证明△ABD∽△ACE，得，而∠DAE=∠BAC，由三角形的相似条件可知△ADE∽△ABC，故有AC=6，代入可求

由△ADE∽△ABC可知∠ADE=∠ABC，而∠ADE+∠BDE=90°，∠ABC+∠BCE=90°，所以可得∠BDE=∠BCE，∠DFE=∠BFC，进一步可得△DFE∽△CFB，所以在Rt△BEF中，BE=8-3=5，设EF=x，则BF= 2x，由勾股定理可求

当然，上述是通过证明三角形相似得到对应的角相等，我们还可以通过四点共圆得圆周角相等，更快地得到三角形相似；还有图中的∠A实际上是特殊角，同学们发现了吗？

（作者单位：苏州工业园区青剑湖学校）