剪拼折移转，玩转四边形

马洪亮

剪拼折移转，玩转四边形

马洪亮

中考数学试卷中关于四边形的操作类试题层出不穷，如图形的剪拼、折叠、平移、旋转等，这类试题主要考查同学们的实践能力、推理与判断能力、空间想象能力，而解决这类问题则要通过观察与操作、比较与猜测、分析与综合、抽象与概括等实践活动与思维过程，去探索、发现结论，从而解决问题.

例1（2009·义乌）（1）如图1，正方形网格中有一个平行四边形，请在图中画一条直线把平行四边形分成面积相等的两部分；（2）把图2中的平行四边形分割成四个全等的四边形（要求在图2中画出分割线），并把所得的四个全等的四边形在图3中拼成一个轴对称图形或中心对称图形，使所得图形与原图形不全等且各个顶点都落在格点上.

图1

图2

图3

【分析】（1）把平行四边形分成面积相等的两部分，只要这条直线经过平行四边形的对称中心就可以.

（2）此问题具有一定的开放性，解决问题的方案有多种，只要符合要求即可.下面给出几种设计方案：

【解答】（1）经过对角线交点任作一直线即可（如图4）.

图4

图5

（2）分割线如图5所示.拼图方法不唯一，图6是拼成轴对称图形的两种方案，图7是拼成中心对称图形的两种方案.

图6

图7

【点评】剪拼方法是以数学知识与思维方法作支撑的，本题只要抓住中心对称与轴对称的特点，便可找到解决问题的策略.

例2（2016·威海）如图8，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（）.

图8

【分析】连接BF交AE于H，根据三角形的面积公式求出BH，得到BF的长，根据直角三角形的判定得到∠BFC=90°，根据勾股定理求出答案.

【点评】本题主要考查了翻折变换和矩形的性质，折叠是一种对称变换，它属于轴对称.抓住折叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等是解题的关键.

例3（2014·茂名）如图9，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，且OA= 3，OC=2，将矩形OABC向上平移4个单位得到矩形O1A1B1C1.

图9

（2）将矩形O1A1B1C1向左平移得到OABC，当点O、B在反比例函数y=的图

222222像上时，求平移的距离和k3的值.

2

（2）设将矩形O1A1B1C1向左平移a个单位得到O2A2B2C2，根据向左平移，横坐标相减，纵坐标不变，得到点O（2-a，4），B（23-a，6），由点O、B在反比例函数y=的图像上，得出k=

223-4a=6（3-a），解方程即可求出a与k3的值.

【点评】平移时，图形中的每个点都沿着相同的方向平移了相同的距离.表现在平面直角坐标系中，当一个点上下平移时，横坐标不变，纵坐标变化；当一个点左右平移时，纵坐标不变，横坐标改变.抓住了平移的特征，便容易写出点B1、B2、O1、O2的坐标，进一步在第（2）问中就可以根据条件建立出关于平移距离a的方程.

例4如图10，已知菱形AEFB是由菱形ABCD绕点A顺时针旋转得到的，连接DE，CF，求证：四边形CDEF为矩形.

图10

【分析】EF与CD均与AB平行且相等，所以CD∥EF，CD=EF，于是可得四边形CDEF是平行四边形，由菱形的性质、旋转的特征以及等腰三角形的三线合一性质等可以得出∠CDE=90°，从而得四边形CDEF为矩形.

证明：∵菱形AEFB是由菱形ABCD绕点A顺时针旋转得到的，

∴AB=CD=AD=AE=EF，

∠DAB=∠EAB，CD∥AB，AB∥EF，

∴CD=EF，CD∥EF，∠1=∠2.

∴四边形CDEF是平行四边形.

∵AD=AE，∠DAB=∠EAB，

∴AB⊥ED，∴∠1=90°，∴∠2=90°.

∴平行四边形CDEF是矩形.

图11

【点评】我们在解决有关旋转的问题时，要抓住旋转的特征，分析图形中的数量关系和位置关系.旋转时图形中的每个点都绕着旋转中心旋转了相同的角度，旋转前后的两个图形全等，因而就会有对应边相等，对应角相等.

小试身手

（2016·苏州）如图12，在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=8cm，点P从点B出发，沿对角线BD向点D匀速运动，速度为4cm/s，过点P作PQ⊥BD交BC于点Q，以PQ为一边作正方形PQMN，使得点N落在射线PD上，点O从点D出发，沿DC向点C匀速运动，速度为3cm／s，以O为圆心，0.8cm为半径作⊙O，点P与点O同时出发，设它们的运动时间为t（单位：s）（0＜t＜）.

（1）连接DQ，当DQ平分∠BDC时，求t的值.

图12

（2）如图13，连接CM，若△CMQ是以CQ为底的等腰三角形，求t的值；

图13

图14

（3）请你继续进行探究，并解答下列问题：

①证明：在运动过程中，点O始终在QM所在直线的左侧；

②如图14，在运动过程中，当QM与⊙O相切时，求t的值；并判断此时PM与⊙O是否也相切，说明理由.

（作者单位：江苏省宝应县实验初级中学）

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