巧用矩形对角线

顾啸敏

巧用矩形对角线

顾啸敏

平行四边形是近几年各地中考考查的重点知识，而矩形又是特殊的平行四边形，对角线相等是矩形的重要性质之一，如果能巧妙地利用这个性质，可以使某些问题得到简单而快捷的解决.

一、计算求值

例1如图1，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若E、F是AC上两动点，E、F分别从A、C两点同时以1cm/s的相同速度向C、A运动.

（1）四边形DEBF是平行四边形吗？并说明理由.

（2）若BD=10cm，AC=16cm，当运动时间t为多少时，四边形DEBF为矩形.

图1

【分析】（1）判定平行四边形的方法有很多种，可通过证明△ADE≌△CBF、△ABE≌△CDF，利用两组对边分别相等或者一组对边平行且相等来证明，这里利用对角线互相平分来判定平行四边形最为简捷.

（2）▱DEBF在运动过程中要成为矩形，只需满足对角线相等即可.这里还要注意E、F两个动点运动的位置可能在点O的上方，也有可能在点O的下方，不能遗漏.

解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA=OC，OB=OD.

∵E、F是两动点，运动的速度相同，

∴AE=CF，

∴OA-AE=OC-FC，

即：OE=OF，

∴四边形DEBF是平行四边形.

（2）当DB=EF时，四边形DEBF为矩形.

当点E在点O的下方时，

10=16-2t，t=3；

当点E在点O的上方时，

10=2t-16，t=13.

∴当t=3s或13s时，四边形DEBF为矩形.

二、证明相等

例2如图2，在正方形ABCD中，E是对角线AC上的一点，EF⊥CD于点F，EG⊥AD于点G.求证：BE=FG.

图2

【分析】通过观察，线段BE与FG所在的三角形不可能全等，它们也不在同一个四边形中，不能利用特殊四边形的性质，所以直接证明它们相等非常困难.但如果构造矩形的对角线，利用对角线相等的性质进行转化，问题就可以迎刃而解了.

三、推导定理

例3已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点O是AC的中点，求证：OB=AC.

【分析】证明线段的倍分关系通常转化为证明两条线段的相等，加倍延长BO到D，可以证明四边形ABCD是矩形，从而利用矩形的性质得到结论.

图3

证明：如图3，延长BO到D，使OD=OB，连接AD、CD.

∵OA=OC，OB=OD，

∴四边形ABCD是平行四边形，

又∵∠ABC=90°，

∴▱ABCD是矩形，∴BD=AC，2OB=AC，

例3的结论用文字语言描述为：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，这个定理在几何计算和证明中的应用非常广泛.

四、探求最值

例4如图4，线段AB的长为2，C为AB上一个动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形，求线段DE长度的最小值.

图4

【分析】当点C在线段AB上运动时，点D、E随之运动，线段DE长度也随之变化，但等腰直角三角形的形状没有改变，∠A、∠B的度数一直是45°，假设延长AD、BE交于点G，则△ABG也是等腰直角三角形，四边形DCEG是矩形，根据矩形对角线相等的性质，线段DE转化为GC，从而利用“垂线段最短”的性质巧妙地解决问题.

图5

解：如图5，延长AD、BE交于点G，连接CG，则△ABG为等腰直角三角形，四边形DCEG为矩形，∴DE=GC.

∴线段DE长度的最小值为1.

此解法通过添加适当的辅助线，巧妙地构造矩形，利用矩形对角线相等的性质将DE转化为GC，利用“垂线段最短”直接求解，避免了复杂的代数运算，较为简捷.

江苏省宝应县实验初级中学）