例析特殊四边形与圆的完美组合

汪国银

例析特殊四边形与圆的完美组合

汪国银

特殊四边形主要包括梯形、平行四边形、矩形、菱形、正方形等，中考中相关考题大多难度中等偏下，更多体现了对基础知识的考查.

圆是初中几何的重要学习内容，它具有很多重要性质，知识的前后联系密切，能考查综合应用数学知识的能力，是历年中考的重点.

特殊四边形与圆的组合在中考题中也屡见不鲜，两类图形完美展现了直线型问题与曲线型问题的有机结合.

平行四边形与圆的组合

例1（2016·黑龙江）如图1，若以平行四边形一边AB为直径的圆恰好与对边CD相切于点D，则∠C=度.

图1

【考点】切线的性质；平行四边形的性质.

【解析】如图2，连接OD.

图2

∵CD是⊙O的切线，∴OD⊥CD，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，∴AB⊥OD，

∴∠AOD=90°，

∵OA=OD，∴∠A=∠ADO=45°，

∴∠C=∠A=45°.

【点评】在给出切线的条件时，首先连接过切点的半径，只要证明△AOD是等腰直角三角形即可推出∠A=45°，再根据平行四边形的对角相等即可解决问题.

菱形与圆的组合

例2（2016·陕西）如图3，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=2，点P是这个菱形内部或边上的一点，若以点P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形，则P、D（P、D两点不重合）两点间的最短距离为.

图3

【考点】菱形的性质；等腰三角形的判定；等边三角形的性质.

【解析】如图4，连接AC、BD交于点O，以B为圆心，BC为半径画圆交BD于P.

此时△PBC是等腰三角形，线段PD最短.

∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，

∴AB=BC=CD=AD，∠ABC=∠ADC=60°，

∴△ABC，△ADC是等边三角形，

∴BO=DO=3 2×2=3，

∴BD=2BO=2 3，

∴PD最小值=BD-BP=2 3-2.

图4

【点评】显然△PBC以PB、CB为腰时线段PD才最短，此时点P在以点B为圆心，以CB为半径的圆上，即PB长为定值.因此，要求P、D（P、D两点不重合）两点间的最短距离即可转化为PB+PD最短的问题，即当B、P、D三点共线时线段PD最短，根据菱形的性质求出菱形的对角线BD长即可解决问题.

例3（2016·云南）四边形ABCD的对角线交于点E，有AE=EC，BE=ED，以AB为直径的半圆过点E，圆心为O.

（1）利用图5，求证：四边形ABCD是菱形.

（2）如图6，若CD的延长线与半圆相切于点F，已知直径AB=8.

①连接OE，求△OBE的面积.

②求弧AE的长.

图5

图6

【考点】菱形的判定与性质；切线的性质.【解析】（1）∵AE=EC，BE=ED，

∴四边形ABCD是平行四边形.

酒款亮点：皮耶诺酒庄（Pierro）创立于1979年，庄主麦克·彼得金（Michael Peterkin）的热情和充满创意的酿酒技术，让皮耶诺的葡萄酒很快就打出知名度。如今，皮耶诺的红葡萄酒已经跻身产区顶级行列，出产的白葡萄酒更是声名显赫，尤其是皮耶诺的霞多丽，被称为世界级的精品白葡萄酒，为玛格利特河产区赢得了“真正的精品霞多丽之乡”的美誉。酿酒葡萄按照成熟度手工分批采摘，20%在新法国桶和1-2年法国桶中发酵熟成,80%在不锈钢桶中发酵熟成。LTC表示Little Touch of Chardonnay，是皮耶诺最受欢迎的特色酒款之一。

∵AB为直径，且过点E，

∴∠AEB=90°，即AC⊥BD.

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴四边形ABCD是菱形.

图7

【点评】本题主要考查菱形的判定、矩形的判定与性质、切线的性质，熟练掌握其判定与性质并结合题意加以灵活运用是解题的关键.

正方形、矩形与圆的组合

例4（2015·金华）如图8，在矩形ABCD中，点F在边BC上，且AF=AD，过点D作DE⊥AF，垂足为点E.

∴OE∥AD，∴∠EOB=∠DAH=30°，

∴∠AOE=180°-∠EOB=150°，

∴弧AE的（2）以D为圆心，DE为半径作圆弧交AD于点G，若BF=FC=1，试求︵EG的长.

【考点】矩形的性质；全等三角形的判定和性质；含30度角直角三角形的性质；勾股定理；弧长的计算.

【点评】（1）由矩形的性质得出∠B=∠C= 90°，AB=BC=AD=DC，AD∥BC，得出∠EAD=∠AFB，由AAS证明△ADE≌△FAB，得出对应边相等即可；（2）也可连接DF，先证明△DCF≌△ABF，得出DF=AF，再证明△ADF是等边三角形，得出∠DAE=60°，∠ADE=30°，由AE=BF= 1，根据三角函数得出DE，由弧长公式即可求出的长.

小试身手（2011·苏州）已知四边形ABCD是边长为4的正方形，以AB为直径在正方形内作半圆，P是半圆上的动点（不与点A、B重合），连接PA、PB、PC、PD.

（1）如图9，当PA的长度等于_____时，∠PAB=60°；

当PA的长度等于时，△PAD是等腰三角形；

（2）如图10，以AB边所在的直线为x轴，AD边所在的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系（点A即为原点O），把△PAD、△PAB、△PBC的面积分别记为S1、S2、S3.设P点坐标为（a，b），试求2S1S3-S22的最大值，并求出此时a、b的值.

（作者单位：江苏省宝应县实验初级中学）

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