提炼函数关系式　解决生活小难题

陈　锋



提炼函数关系式解决生活小难题

陈锋

一次函数在我们的日常生活中有非常广泛的应用，如购物、租借、住宿，经营者为了盈利促销进行宣传；为寻求最优方案，可以利用一次函数解决问题；当人或车进行运动时，为合理分配时间或速度，也可利用一次函数解决问题……因此，对于生活中的问题，只要能提炼出一次函数关系式，就能为我们解决问题提供方便.

一、规律探寻

1.如图1所示，用火柴棍摆“金鱼”，按照上面的规律，摆n个“金鱼”需用的火柴棒根数为________.

图1

【分析】本题的规律就是：每增加一个金鱼就增加6根火柴棒；若不能发现这个规律，也可设一次函数一般式获得答案.

解：设y=kx+b，x=1时，y=8，x=2时，y= 14，解得y=6x+2，填6n+2.

【点评】本题是一道关于数字猜想问题，关键是通过归纳总结或大胆假设，得到其中的规律.

二、最优方案

2.“黄金1号”玉米种子的价格为5 元/kg，如果一次购买2 kg以上的种子，超过2 kg部分的种子的价格打8折.

（1）根据题意，填写下表：

购买种子的数量/kg　 1.5　 2　 3.5　 4　…付款金额/元　7.5　16　…

（2）设购买种子数量为x kg，付款金额为y元，求y关于x的函数解析式；

（3）若小张一次购买该种子花费了30元，求他购买种子的数量.

【分析】（1）根据单价乘数量，可得答案；

（2）根据单价乘数量，可得价格，可得相应的函数解析式；

（3）根据函数值，可得相应的自变量的值.

解：（1）10，18；

（2）根据题意得，

当0≤x≤2时，种子的价格为5元/千克，∴y=5x，

当x＞2时，其中有2千克的种子按5元/千克计价，超过部分按4元/千克计价，

∴y=5×2+4（x-2）=4x+2.y关于x的函数解析式为：

（3）∵30＞10，

∴一次性购买种子超过2千克，

∴4x+2=30.解得x=7.

答：他购买种子的数量是7千克.

【点评】本题考查了一次函数的应用，分类讨论是解题关键.

3.根据大会组委会安排，某校接受了开幕式大型团体操表演任务.为此，学校需要采购一批演出服装，A、B两家制衣公司都愿成为这批服装的供应商.经了解：两家公司生产的这款演出服装的质量和单价都相同，即男装每套120元，女装每套100 元.经洽谈协商：A公司给出的优惠条件是，全部服装按单价打七折，但校方需承担2200元的运费；B公司的优惠条件是男女装均按每套100元打八折，公司承担运费.另外根据大会组委会要求，参加演出的女生人数应是男生人数的2倍少100人，如果设参加演出的男生有x人.

（1）分别写出学校购买A、B两公司服装所付的总费用y1（元）和y2（元）与参演男生人数x之间的函数关系式；

（2）问：该学校购买哪家制衣公司的服装比较合算？请说明理由.

【分析】（1）根据总费用=男生的人数×男生每套的价格+女生的人数×女生每套的价格就可以分别表示出y1（元）和y2（元）与男生人数x之间的函数关系式；

（2）根据条件可以知道购买服装的费用受x的变化而变化，分情况讨论，当y1＞y2时，当y1=y2时，当y1＜y2时，求出x的范围就可以求出结论.

解：（1）总费用y1（元）和y2（元）与参演男生人数x之间的函数关系式分别是：

y1=0.7［120x+100（2x-100）］+2 200= 224x-4 800，

y2=0.8［100（3x-100）］=240x-8 000；

（2）由题意，得

当y1＞y2时，即224x-4 800＞240x-8 000，解得：x＜200，

当y1=y2时，即224x-4 800=240x-8 000，解得：x=200，

当y1＜y2时，即224x-4 800＜240x-8 000，解得：x＞200.

即当参演男生少于200人时，购买B公司的服装比较合算；

当参演男生等于200人时，购买两家公司的服装总费用相同，可在任一家公司购买；

当参演男生多于200人时，购买A公司的服装比较合算.

【点评】本题考查了根据条件求一次函数的解析式的运用、运用不等式求设计方案的运用，解答本题时根据数量关系求出解析式是关键，建立不等式计算优惠方案是难点.

4.某校校园超市老板到批发中心选购甲、乙两种品牌的文具盒，乙品牌的进货单价是甲品牌进货单价的2倍，考虑各种因素，预计购进乙品牌文具盒的数量y（个）与甲品牌文具盒的数量x（个）之间的函数关系如图2所示.当购进的甲、乙品牌的文具盒中，甲有120个时，购进甲、乙品牌文具盒共需7 200元.

图2

（1）根据图像，求y与x之间的函数关系式；

（2）求甲、乙两种品牌的文具盒进货单价；

（3）若该超市每销售1个甲种品牌的文具盒可获利4元，每销售1个乙种品牌的文具盒可获利9元，根据学生需求，超市老板决定，准备用不超过6 300元购进甲、乙两种品牌的文具盒，且这两种品牌的文具盒全部售出后获利不低于1 795元，问该超市有几种进货方案？哪种方案能使获利最大？最大获利为多少元？

【分析】（1）根据函数图像由待定系数法就可以直接求出y与x之间的函数关系式；

（2）设甲品牌进货单价是a元，则乙品牌的进货单价是2a元，根据购进甲品牌文具盒120个可以求出乙品牌的文具盒的个数，由共需7 200元为等量关系建立方程求出其解即可；

（3）设甲品牌进货m个，则乙品牌进货（-m+300）个，根据条件建立不等式组求出其解即可.

解：（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，由函数图像，得

∴y与x之间的函数关系式为y=-x+300.

（2）∵y=-x+300，

∴当x=120时，y=180.

设甲品牌进货单价是a元，则乙品牌的进货单价是2a元，由题意，得

120a+180×2a=7 200，

解得：a=15，

∴乙品牌的进货单价是30元.

答：甲、乙两种品牌的文具盒进货单价分别为15元，30元.

（3）设甲品牌进货m个，则乙品牌进货（-m+300）个，由题意，得

解得：180≤m≤181，

∵m为整数，

∴m=180，181.

∴共有两种进货方案：

方案1：甲品牌进货180个，则乙品牌进货120个；

方案2：甲品牌进货181个，则乙品牌进货119个.

设两种品牌的文具盒全部售出后获得的利润为W元，由题意，得

W=4m+9（-m+300）=-5m+2 700.

∵k=-5＜0，

∴W随m的增大而减小，

∴m=180时，W最大=1 800元.

【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、列一元一次方程解实际问题、列一元一次不等式组解实际问题，解答时求出第一问的解析式是解答后面问题的关键.

三、行程问题

5. 2013年“中国好声音”全国巡演重庆站在奥体中心举行.童童从家出发前往观看，先匀速步行至轻轨车站，等了一会儿，童童搭乘轻轨至奥体中心观看演出，演出结束后，童童搭乘邻居刘叔叔的车顺利到家.其中x表示童童从家出发后所用时间，y表示童童离家的距离.下图能反映y与x的函数关系式的大致图像是（）.

【分析】本题考查了用图像法表示函数，考查了对用图像表示的分段函数的正确辨别.对于用图像描述分段函数的实际问题，要抓住以下几点：①自变量变化而函数值不变化的图像用水平线段表示；②当两个阶段的图像都是一次函数（或正比例函数）时，自变量变化量相同，而函数值变化越大的图像与x轴的夹角就越大；③各个分段中，准确确定函数关系；④确定函数图像的最低点和最高点.

解：时间x=0时，童童还在家里，所以图像必过原点；匀速步行前往，说明y逐步变大，是正比例函数；等轻轨车，x变化，而y不变化，图像是水平线段；乘轻轨车匀速前往奥体中心，速度比步行时大，在相同时间内，函数值变化量比步行时大，所以图像是比步行时k值大的一次函数.这样，就基本可以确定答案为A.

【点评】本题容易出现的错误是对函数图像的分段不准，对各个阶段相对的变化快慢忽视.

6.“龟兔首次赛跑”之后，输了比赛的兔子没有气馁，总结反思后，和乌龟约定再赛一场.图中的函数图像刻画了“龟兔再次赛跑”的故事（x表示乌龟从起点出发所行的时间，y1表示乌龟所行的路程，y2表示兔子所行的路程）.有下列说法：

①“龟兔再次赛跑”的路程为1 000米；②兔子和乌龟同时从起点出发；③乌龟在途中休息了10分钟；④兔子在途中750米处追上乌龟.其中正确的说法是________.（把你认为正确说法的序号都填上）

【分析】结合函数图像及选项说法进行判断即可.

解：根据图像可知：

龟兔再次赛跑的路程为1 000米，故①正确；兔子在乌龟跑了40分钟之后开始跑，故②错误；乌龟在30到40分钟时的路程为0，故这10分钟乌龟没有跑在休息，故③正确；y1=20x-200（40≤x≤60），y2= 100x-4 000（40≤x≤50），当y1=y2时，兔子追上乌龟，此时20x-200=100x-4 000，解得：x=47.5，y1=y2=750米，即兔子在途中750米处追上乌龟，故④正确.综上可得①③④正确.

故答案为：①③④.

【点评】本题考查了函数的图像，读函数的图像时首先要理解横纵坐标表示的含义，理解问题叙述的过程，有一定难度.

图3

7.某学校开展“青少年科技创新比赛”活动，“喜洋洋”代表队设计了一个遥控车沿直线轨道AC做匀速直线运动的模型.甲、乙两车同时分别从A，B出发，沿轨道到达C处，在AC上，甲的速度是乙的速度的1.5倍，设t（分）后甲、乙两遥控车与B处的距离分别为d1，d2，则d1，d2与t的函数关系如图3，试根据图像解决下列问题：

（1）填空：乙的速度v2=_______米/分；（2）写出d1与t的函数关系式；

（3）若甲、乙两遥控车的距离超过10米时信号不会产生相互干扰，试探求什么时间两遥控车的信号不会产生相互干扰.

【分析】（1）根据路程与时间的关系，可得答案；

（2）根据甲的速度是乙的速度的1.5倍，可得甲的速度，根据路程与时间的关系，可得a的值，根据待定系数法，可得答案；

（3）根据两车的距离，可得不等式，解不等式，可得答案.

解：（1）乙的速度v2=120÷3=40（米/分），故答案为40.

（2）v1=1.5×v2=1.5×40=60（米/分），

60÷60=1（分钟），a=1，d1=

（3）d2=40t，当0≤t＜1时，d1+d2＞10，

即-60t+60+40t＞10，

解得0≤t＜2.5，

当0≤t＜1时，两遥控车的信号不会产生相互干扰；

当1≤t≤3时，d2-d1＞10，即40t-（60t-60）＞10，解得t＜2.5，

当1≤t＜2.5时，两遥控车的信号不会产生相互干扰.

综上所述：当0≤t＜2.5时，两遥控车的信号不会产生相互干扰.

【点评】本题考查了一次函数的应用，（1）利用了路程、速度、时间三者的关系，（2）分段函数分别利用待定系数法求解，（3）当0≤t＜1时，d2+d1＞10，当1＜t≤3时，d2-d1＞10，分类讨论是解题关键.

四、其他问题

8.一个大烧杯中装有一个小烧杯，在小烧杯中放入一个浮子（质量非常轻的空心小圆球）后再往小烧杯中注水，水流的速度恒定不变，小烧杯被注满后水溢出到大烧杯中，浮子始终保持在容器的正中间.用x表示注水时间，用y表示浮子的高度，则用来表示y与x之间关系的选项是（）.

【分析】分三段考虑.①小烧杯未被注满，这段时间，浮子的高度快速增加；②小烧杯被注满，大烧杯内水面的高度还未达到小烧杯的高度，此时浮子高度不变；③大烧杯内的水面高于小烧杯，此时浮子高度缓慢增加.

解：①小烧杯未被注满，这段时间，浮子的高度快速增加；

②小烧杯被注满，大烧杯内水面的高度还未达到小烧杯的高度，此时浮子高度不变；

③大烧杯内的水面高于小烧杯，此时浮子高度缓慢增加.

结合图像可得B选项的图像符合.

故选B.

【点评】本题考查了函数的图像，解答本题需要分段讨论，另外本题重要的一点在于：浮子始终保持在容器的正中间.

（作者单位：江苏省无锡市太湖格致中学）