一次函数思想方法荟萃

金　岳



一次函数思想方法荟萃

金岳

数学思想方法是对数学知识的本质认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点，是在数学教学中提出问题、解决问题过程中所采用的各种方式、手段、途径等.掌握数学思想方法，就是掌握数学的精髓.在数学课本中，到处都可以找到提炼出数学思想、数学方法的素材，本文以义务教育教科书八年级数学上册（苏科版）《一次函数》为例，谈谈所涉及的数学思想.

一、函数思想

例1小李从西安通过某快递公司给在南昌的外婆寄一盒樱桃，他了解到这个公司除收取每次6元包装费外，樱桃不超过1 kg收费22元，超过1 kg，则超出部分每千克加收10元费用，设该公司从西安到南昌寄樱桃的费用为y（元），所寄樱桃为x（kg）.

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）已知小李给外婆寄了2.5 kg樱桃，请你求出这次寄快递的费用是多少元.

【解析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是建函数模型，很多同学解答第一问时，常常忽视0＜x≤1的情况，导致出错.

解：（1）根据快递的费用=包装费+运费，分两种情况：0＜x≤1和x＞1，直接列出y与x的函数关系式.

当0＜x≤1时，y=22+6=28；

当x＞1时，y=28+10（x-1）=10x+18.

∴y与x的函数关系式为

（2）根据（1）求出的解析式，x=2.5＞1，因此代入相应的函数关系式就可以得出答案.

当x=2.5时，y=10×2.5+18=43，

∴小李这次寄快递的费用是43元.

二、方程思想

例2甲、乙两辆汽车分别从A，B两地同时出发，沿同一条公路相向而行，乙车出发2 h后休息，与甲车相遇后，继续行驶.设甲，乙两车与B地的路程分别为y甲（km），y乙（km），甲车行驶的时间为x（h），y甲，y乙与x之间的函数图像如图2所示，结合图像解答下列问题：

（1）乙车休息了多少小时；

（2）求乙车与甲车相遇后y乙与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；

（3）当两车相距40 km时，直接写出x的值.

图1

【解析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是准确读取图像信息，第（3）问是一次函数中典型的方程思想解决问题的案例，对于行程类的图像信息题，要注意利用相遇、追及等类型构造方程求解.

（2）设y乙与x的函数解析式为y乙=kx+b，把（2.5，200）、（5，400）代入，得解得

∴y乙=80x（2.5≤x≤5）.

（3）相遇前：100x+80x+40=400，解得x=2；

相遇后：80x+200+80（x-2.5）=440，解得

三、分类讨论思想

例3当kb＜0时，一次函数y=kx+b的图像一定经过（）.

A.第一、三象限B.第一、四象限

C.第二、三象限D.第二、四象限

【解析】本题考查了一次函数的图像与性质，解题的关键是利用一次函数的图像与性质进行分类讨论，全面获解.

（1）确定k、b的符号；

（2）根据k、b的符号确定一次函数y= kx+b的图像所经过的象限.

解：已知kb＜0，则k与b异号，故存在两种情形：k＞0且b＜0或k＜0且b＞0.当k＞0，且b＜0时，一次函数y=kx+b的图像必过第一、三、四象限；当k＜0，且b＞0时，一次函数y=kx+b的图像必过第一、二、四象限.

综上可知，一次函数y=kx+b的图像必过第一、四象限，故选择B.

四、数形结合思想

例4如图2，直线y=kx+b过A（-1，2）、B（-2，0）两点，则0≤kx+b≤-2x的解集为___________.

【解析】本题考查了一次函数与不等式之间的关系，解题的关键是理解函数的图像，利用数形结合的思想找到答案.

解：根据题意可知，直线y=-2x过点（-1，2），结合函数的图像可知，0≤kx+b≤-2x所对应的自变量的取值范围是-2≤x≤-1，故答案为-2≤x≤-1.

图2

五、特殊到一般思想

例5如图3，已知A1、A2…An、An+1是x轴上的点，且OA1=A1A2=A2A3=…=AnAn+1= 1，分别过点A1、A2…An、An+1作x轴的垂线交直线y=2x于点B1、B2…Bn、Bn+1，连接A1B2、B1A2、A2B3、B2A3…AnBn+1、BnAn+1，依次相交于点P1、P2、P3…Pn，△A1B1P1、△A2B2P2…△AnBnPn的面积依次为S1、S2…Sn，则Sn为（）.

图3

【解析】本题是探究规律试题，解决此类问题应先观察图形的变化趋势，然后从第一个图形进行分析，运用从特殊到一般的探索方式，分析归纳三角形面积变化中不变的规律，并用含有n的代数式进行表示，最后用代入法求出特殊情况下的数值.

解：A1坐标为（1，0），B1坐标为（1，2），A2坐标为（2，0），B2坐标为（2，4），通过A1、B2构造的直线为y1=4x-4，通过A2、B1构造的直线为y2=-2x+4，这两条直线的交点坐标P1的坐标为，所以△A1B1P1的面积为△A2B1O-△A1B1O-△A1A2P1=；同理可求得第二个三角形的面积为；第三个三角形的面积为；……通过此规律可推出答案为.

六、建模思想

例6为了节省空间，家里的饭碗一般是摞起来存放的.如果6只饭碗摞起来的高度为15 cm，9只饭碗摞起来的高度为20 cm，那么11只饭碗摞起来的高度更接近（）.

A. 21 cmB. 22 cm

C. 23 cmD. 24 cm

【解析】本题考查了利用一次函数建模、应用，解题的关键是寻找恰当的数学模型来解决问题.设碗的个数x与碗摞起来的高度y厘米，满足一次函数关系式y=kx+b （k，b是常数，且k≠0），根据所给条件，求出一次函数关系式，再求x=11时，函数y的近似值，比对选项，找出答案.

解：因为设碗的个数x与碗摞起来的高度y厘米，满足一次函数关系式y=kx+b（k，b是常数，且k≠0），所以把x=6时，y=15，x=9时，y=20代入函数关系式，得

故选C.

例7如图4，是一对变量满足的函数关系的图像.有下列3个不同的问题情境：

图4

①小明骑车以400米/分钟的速度匀速骑了5分钟，在原地休息了4分钟，然后以500米/分钟的速度匀速骑回出发地，设时间为x分，离出发地的距离为y千米；

②有一个容积为6升的开口空桶，小亮以1.2升/分钟的速度匀速向这个空桶注水，注5分钟后停止，等4分钟后，再以2升/分钟的速度匀速倒空桶中的水，设时间为x分，桶内的水量为y升；

③矩形ABCD中，AB=4，BC=3，动点P从点A出发，依次沿对角线AC、边CD、边DA运动至点A停止，设点P的运动路程为x，那么当点P与点A不重合时，y=S△ABP；当点P与点A重合时，y=0.

其中，符合图中所示函数关系的问题情境的个数为（）.

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

【解析】本题考查了函数图像与问题情境的对应转换问题，即将情景问题建立恰当模型，与已知函数模型相比较，抓住图像的转折点，正确识图是解决问题的关键.

解：①根据情境知，前5分钟应行驶了400×5=2 000（米），而图像上反映的是6千米，所以不正确；

②根据情境知，前5分钟注水1.2×5=6（升）；此时注满，5～9分钟时水的高度不变；9～12分钟后，每分钟倒出2升，3分钟倒空，符合图像；

图5

图6

图7

以上介绍了6种一次函数中的常见数学思想方法，数学思想方法还有很多，限于篇幅，这里不全面展开，但需要注意的是，问题中方法并不一定是独立存在，有时需要多种方法相结合才能解决问题.希望同学们平时多思多悟，总结方法，提炼思想，提升自身的数学素养.

（作者单位：江苏省敔山湾实验学校）