从一道中考题谈起

马育伟



从一道中考题谈起

马育伟

一次函数作为初中数学的核心内容，在各级各类考试和中考中是必考的知识点.

例1（2014·江苏镇江）已知过点（2，-3）的直线y=ax+b（a≠0）不经过第一象限.设s=a+2b，则s的取值范围是（）.

【考点分析】1.一次函数图像与系数的关系；2.直线上点的坐标与方程的关系；3.不等式的性质.

解：∵过点（2，-3）的直线y=ax+b（a≠0）不经过第一象限，

由a＜0得到-3a＞0，从而-3a-6＞0-6=-6，即s＞-6，∴s的取值范围是，故选B.

从本题的解答中，我们可以了解到在一次函数的学习中必须注意的几点：

1.要牢固掌握一次函数及正比例函数的基本知识

例如正比例函数的图像是经过原点的一条直线，当k＞0时，经过第一、三象限，y随着x的增大而增大，当k＜0时，经过第二、四象限，y随着x的增大而减小；而一次函数的图像不一定经过原点，增减性与正比例函数一样，图像经过的象限除了由k的符号决定经过第一、三或第二、四象限，还由b的符号决定经过第一、二或第三、四象限.利用这些知识就可以解决如以下的中考题：

例2（2014·广东汕尾）已知直线y=kx+ b，若k+b=-5，kb=6，那么该直线不经过（）.

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

例3（2014·湖南娄底）一次函数y= kx-k（k＜0）的图像大致是（）.

2.要理解直线上点的坐标与方程的关系

不管是正比例函数y=kx还是一次函数y=kx+b（k≠0）都可以看作是关于x与y的方程，其中k与b是字母参数，而函数图像上的点的坐标（x，y）就是满足方程的一对解，因此求正比例或一次函数的解析式必须知道一个点或两个点的坐标.利用这些知识就可以解决如以下的中考题：

例4（2015·江苏无锡）一次函数y=-2x+ 4的图像与y轴的交点坐标是（）.

A.（0，4）B.（4，0）

C.（2，0）D.（0，2）

例5（2014·湖南邵阳）已知点M（1，a）和点N（2，b）是一次函数y=-2x+1图像上的两点，则a与b的大小关系是（）.

A. a＞bB. a=b

C. a＜bD.以上都不对

3.要理解函数关系式中k的几何意义

例6（2014·福建莆田）如图1放置的△OAB1，△B1A1B2，△B2A2B3…都是边长为2的等边三角形，边AO在y轴上，点B1，B2，B3…都在直线上，则A2014的坐标是________.

图1

【分析】在本题中考到的是两个知识点：等边三角形和一次函数，注意到第一个等边三角形的一边与y轴重合，故辅助线的作法是延长A1B1，A2B2，…，AnBn，与x轴交于C1，C2，…，Cn.由边长为2的等边三角形，得到OB1，OB2，…，OBn的长度分别为2，4，…，2n，由直线得到，可得到与x轴的夹角为30°，利用30°的直角三角形的三边关系可以得到B1C1=1，B2C2=2，…，BnCn=n；，，…，从而得到，那么A2014的坐标是(20142016）.

4.注重与其他知识的结合使用，如一次方程、一次不等式，注重数学的建模

例7（2014·四川内江）某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降.今年5月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为100万元，今年销售额只有90万元.

（1）今年5月份A款汽车每辆售价多少万元？

（2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车，已知A款汽车每辆进价为7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元且不少于99万元的资金购进这两款汽车共15辆，有几种进货方案？

（3）如果B款汽车每辆售价为8万元，为打开B款汽车的销路，公司决定每售出一辆B款汽车，返还顾客现金a万元，要使（2）中所有的方案获利相同，a值应是多少？此时，哪种方案对公司更有利？

经检验，m=9是原方程的根且符合题意.

答：今年5月份A款汽车每辆售价9万元.

（2）设购进A款汽车x辆.

则：99≤7.5x+6（15-x）≤105，且0≤x≤15，

解得：6≤x≤10.

∴x的正整数解为6，7，8，9，10.

∴共有5种进货方案.

（3）本题如果不用一次函数就要经过5次计算并比较代数式大小后才能得出.而设获利W元，则可得：

W=（9-7.5）x+（8-6-a）（15-x）=（a-0.5）x+ 30-15a故当a=0.5时，（2）中的所有方案获利相同.

此时购买A款汽车3辆，B款汽车12辆时对公司更有利.

例8（2014年·贵州黔东南）在如图2所示的平面直角坐标系中，点P是直线y=x上的动点，A（1，0），B（2，0）是x轴上的两点，则PA+PB的最小值为________.

图2

本考题就是结合轴对称（最短路线）的一道考题.注意到直线y=x是第一象限的角平分线，点A和B的对称点在y轴上，坐标为（0，1）和（0，2），利用最短距离只需求（1，0）与（0，2）或（2，0）与（0，1）的距离即可.

总之，在学习一次函数的过程中，必须牢牢掌握一次函数的基本知识和基本性质，注意一次函数在平面直角坐标系中点的坐标与函数解析式的关系，必掌握一次函数中k与b的实际意义.

（作者单位：江苏省无锡市硕放中学）