由一道中考题说起

王欢

由一道中考题说起

王欢

例题如图1，在△ABC中（BC＞AC），∠ACB=90°，点D在AB边上，DE⊥AC于点E，设点F在线段EC上，点G在射线CB上，以F，C，G为顶点的三角形与△EDC有一个锐角相等，FG交CD于点P.问：线段CP可能是△CFG的高线还是中线？或两者都有可能？请说明理由.

图1

这道是2015年杭州中考题的第22题第2小问，主要考查了等腰三角形的判定、三角形的有关概念，都是我们“平面图形的认识”里的内容.

近年来，中考命题突出了能力考查，简答题在形式和内容上都发生了很大变化.题目“源于教材，高于教材，活于教材”，“题在书外，理在书中，预料之外，情理之中”.题目设置更加灵活，角度多变，不再是教材知识的简单搬家.所以，我们在解答此类题型时也应掌握一定的解题方法和技巧：

1.认真审题，抓住关键字词和条件.

2.分析条件和问题，理清题目中的知识点.

3.抓住知识点，解决问题.

下面，老师就借助这道中考题，引导同学探讨如何来解决中考中的解答题.

【分析】主要条件有：①∠ACB=90°；②DE⊥AC；③以F，C，G为顶点的三角形与△EDC有一个锐角相等.

注意的字词：①BC＞AC；②点D在AB边上，点F在线段EC上，点G在射线CB上.

问题是：判断CP是△CFG的什么线？

尤为引起疑问的一个条件是：“以F， C，G为顶点的三角形与△EDC有一个锐角相等”.△FCG和△EDC的哪个锐角相等？

一个引起疑问字词是：“D在AB上”，CD是什么线？是一般的线段还是特殊的线段？

通过尝试和思考可以画出三种示意图，发现此题可以分成三种情况讨论，其中图2，图3中CD是一般线段，图4中CD恰好是∠ACB的角平分线.这样，答案就非常明显了.

图2

图3

【解答】①如图2，若∠CFG=∠ECD，此时线段CP是△CFG的FG边上的中线.

证明：∵∠CFG+∠CGF=90°，∠ECD+∠PCG=90°，又∵∠CFG=∠ECD，

∴∠CGF=∠PCG，∴CP=PG，

∵∠CFG=∠ECD，

∴CP=FP，∴PF=PG=CP，

∴线段CP是△CFG的FG边上的中线.

②如图3，若∠CFG=∠EDC，此时线段CP为△CFG的FG边上的高线.

证明：∵DE⊥AC，∴∠EDC+∠ECD=90°，

∵∠CFG=∠EDC，∴∠CFG+∠ECD=90°，

∴∠CPF=90°，

∴线段CP为△CFG的FG边上的高线.

③如图4，当CD为∠ACB的平分线时，CP既是△CFG的FG边上的高线又是中线.

图4