边“研”边“学”，让学习真正发生——从研究性学习角度看“2和5的倍数的特征”

江苏省无锡市江阴市第三实验小学 黄凤华

在数学教学过程中，教师引导学生开展探究性的学习活动，可以使学生探究与钻研数学知识，进而有效促进学生的数学能力提升。在研究性学习中，学生要动脑、动手、动口，全身心地参与，并在观察、比较、猜想和验证等活动中，使用创新的数学方法形成对数学知识全面正确的认知，并形成科学缜密的数学思维方式。

“2和5的倍数的特征”是苏教版数学五年级下册“因数倍数”单元的内容，是在“因数和倍数”之后、“3的倍数的特征”之前，是在概念性知识学习后呈现的规律性知识，本身就带有探索与总结的意味。在平时教学中，经常是教师和学生一起在百数表中发现2和5的倍数特征后就进行大量的判断，学生对2和5的倍数特征形成了 “既快又准”的认识。但像2和5的倍数的特征这样明显具有规律性知识的内容，正是引导学生进行研究性学习的最佳样本。

一、从表象到本质，在研究性学习中促进对知识本质的理解

学生由对表象条件的归纳概括出结论后，产生对表象结论探究本质的意愿，是与生俱来的。从小时候询问生活现象中的“为什么”到数学学习中的“为什么”，从表象发现到对本质的探究，经历的不仅是对知识的理解，更是思维的深层递进。

（一）从表象上直观感知

小学阶段规律性知识大部分是通过对一定量的研究样本的观察和分析，发现并总结获得的。“2和5的倍数的特征”这部分内容，教学教材的编写非常简洁，也是通过圈一圈，看一看，在100以内非0自然数中发现5或2的倍数的规律后直接呈现结论（见图1）。这种停留在由直观的表象归纳出结论的方式，学生喜闻乐见，且易于接受。

图1

（二）用数形结合理解本质

利用图形表征数学事实、描述数学问题是学生在数学学习中最常用也是最有效的方式之一。除法的意义实际是平均分，借助方格图，可以让学生直观感受5的倍数是5个5个数正好数完，2的倍数是两个两个数正好数完（见图2）。学生在这个过程中，将除法算式的“数”与方格图的“形”建立了关联。研究一个数的倍数特征，利用数形结合的方法进行研究，能够直观地帮助学生理解倍数的本质特征。数形结合既是数学思想，又是数学方法，它的介入为学生对倍数本质特征的理解搭建了桥梁，让学生的理解更加感性而形象。

图2

二、从碎片到结构，在研究性学习中积累数学活动经验

数学活动经验是在参与数学学习活动的过程中积累的，是学生通过观察、猜想、验证、交流等多种方法和途径得出的。五年级学生已具备了更深层次的探究和完整推理的主观意愿和能力。

（一）发现：自然而然地合情推理

在数学活动中观察一些现象或实验得到的事实往往是提出猜想的前提，这里的观察往往是一种直观能力——数学直觉思维能力。百数表中有序的数字排列，让学生能非常迅速且准确地发现5的倍数个位上的特征。

（二）猜想：渐渐萌发的问题意识

从深度教学的角度看，学生主动提出问题能力的提升，对于他们学会学习，显然特别重要，因为这时他们就可以通过自我引领很好地实现成长。这就可以被看成学生能否很好地抓住数学学习关键环节的一个重要标志，能否经常地自问“为什么”，并围绕这个问题深入思考，从而真正做到理解学习。

“100以内5的倍数的个位上都是5或0，100以外的其他自然数呢？”“在我们举例的大于100的数中5的倍数的个位上是5或0，没举到的数字呢？”“所有的5的倍数的个位上都是5或0吗？”在课堂教学中，学生在提出以上问题时，显得迟疑和小心翼翼，不是因为问题意识的欠缺，而是在学生产生疑问和主动提出问题之间，需要一个心理内驱，而教师及时的引导、鼓励和评价则是帮助学生产生提问内驱的重要推动力。也就是说，教师在日常教学中应当努力促成学生由单纯的学习转为更自觉的状态，不仅能做到“敢问”，也能逐步做到“爱问”“善问”。

（三）验证：循序渐进地演绎推理

学生在用合情推理进行猜想之后，会尝试用演绎推理验证猜想。《小学数学课程标准研究与实践》指出，学生基于既定的数学事实或已有的数学经验总结出某些数学猜测后，一般会举例进行验证，发现没有反例之后就确认该猜测是成立的。

1.举例验证

教师要先引导学生发现并认识到在一定范围的样本中发现的规律，能否运用到所有的数中，这只能作为一种猜想，这种猜想能否成立，就需要进一步验证。在验证猜想是否正确时，全部举例并不可能，但举例要全面，不但要举一些个位上是5或0的数，也要举一些个位上不是5或0的数，在这个过程中让学生体会举例的验证作用。

2.格子图验证

五年级学生由于受思维发展水平和所掌握知识的限制，通常不会有主动的意愿和独立的能力进行严格的数学演绎推理论证，但教师需要让学生明白这并不意味着归纳推理得出的结论或规律一定可靠。教师仍然需要引导学生通过计算、画图、实验等多种方式验证结论的可靠性。

100以内的5的倍数个位上是5或0，其他的数不行；100以上的更大的数中，5的倍数个位上也是5或0，但其他的数不行。为什么个位上一定要是5或0呢？这里面藏着什么道理吗？7为什么不是5的倍数？17呢？27呢？37、47、57……呢？107总可以了吧？9997呢？再大一点的数呢？个位上是8的数呢？个位上是哪些数都不会是5的倍数？怎样才能变成5的倍数？

教师可以引导让学生结合方格图解释一个数什么时候是另一个数的倍数，什么时候不是另一个数的倍数。在小格子不断累加变化中自然感受、理解无论十位、百位、千位上数字如何变化，但余数没有发生变化的原理。接着，在这个过程中渗透从小的数到大的数，从简单到复杂，从单一角度到多重角度的研究方法。在探索知识的同时渗透数学学习方法的指导，为学生今后的学习积累基本的数学活动经验。

（四）回顾：水到渠成的模型思想

郑毓信教授在《数学深度教学的理论与实践》中指出，尽管我们应当充分肯定问题解决的重要性，但数学教学又不应局限于问题解决，而应清楚地认识抽象分析的重要性，这里不仅指我们应由各个具体的问题上升到普遍性的问题模式和解题策略，也是指数学建模必须以概念的生成、分析与组织作为必要的基础。

1.回顾过程

在引导学生完成关于5的倍数顺畅、严谨的推理过程后及时地回顾总结、提炼步骤，不但可以帮助学生巩固对推理的感性认识，也为其接下来的内化和应用铺平了道路。

2.反思学习

在课后小结后，教师提问：“我们通过采用举例—猜想—验证—结论的研究方法，发现了关于2和5的倍数的特征，对于你来说获得的知识和采用的方法哪个更重要？为什么？”“如果再用这样的研究方法研究其他规律，验证时发现最初的猜想是错误的，该怎么办？”

在学习知识的同时，提炼出探究的方法，积累了基本数学活动的经验，但在课堂教学结束之前，教师也要让学生意识到，规律性知识的总结，甚至其他知识的研究不可能每次都顺风顺水、一蹴而就，都需要在尝试—推翻—修改—再尝试的过程中逐步构建。虽然小学数学建模不需要让学生完整经历这样的过程，但教师可以给学生渗透这样的数学思想方法。

三、从举一到反三，在研究性学习中深化应用意识

（一）方法迁移

方法迁移是方法层面上的应用拓展，在研究5的倍数特征时，学生经历了举例—猜想—验证—结论的过程，使得学习的逻辑顺序清晰可见。在研究2的倍数特征时，教师可以放手让学生自主研究。学生在经历独立和团队合作研究后，在归纳总结成数学语言交流说理的过程中，其对特征本质的理解进一步得到了内化。

（二）练习的融合

1.介绍下面各数

练习不再停留在简单判断是或不是2或5的倍数，而是意图让学生能在巩固知识点的同时，发散思维。将各知识点融于“介绍”中，开放式问题设计促使学生灵活运用所学知识，使学生进一步感受到数的丰富性。（见图3）

2.按要求组数

学生会在无序思考直接报出答案的过程中发现不重复、不遗漏的关键是确定个位上的数。而思考方式从无序到有序，从无规律报数到有规律填写，不但是学生对所学知识的精准运用，更是学生思维水平的一次有效提升。（见图4）

图3

图4

喻平教授认为：数学核心素养就是学生在若干年后，忘却了数学知识之后还能留下的那些东西。在日常的数学课堂教学中，教师要尽可能地引导学生参与研究性学习，这样做不仅能够加深学生对所学数学知识本质的理解，还能在参与研究性学习的过程中培养动手操作、合作交流等能力，激发学生数学学习的兴趣，促进学生思维品质的发展。