深度认知：小学数学概念的重构与建模13.2%

赵涵菲

【内容摘要】“倍”是小学数学教学一个比较抽象的概念，也是一个承前启后的概念，它是进一步学习有关倍数知识的基础，也是学习分数、比例等知识的基础。本文作者以“2倍”为起点与突破口并建模再走向“多倍”的理解，从经历“建构：建立二倍模型”发展到“解构：让本质走向清晰”最后升华到“重构：稳固概念形成”，实现学习学习材料、学习方式、学习思维的转变，让孩子更深度理解“倍”的本质内涵。

【关键词】倍的认识  建模  思辨与重构

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：数学核心素养的培养离不开教学引导者教师，离不开具体的数学内容和教学过程，离不开教学活动的评价体系。因此只有在具体的数学教学中，重视核心素养、围绕核心素养开展教学活动，才能较好的达成教学目标。笔者认为教学应紧紧围绕“倍”的意义理解展开，具体分以下三个板块进行推进。

一、建构：建立2倍模型

建构是对结构和建造逻辑的表现形式。知识存在于具体的、情境性的、可感知的活动之中，尤其是概念知识，绝不是抽象的独立于情境的实体，它们只有通过实际应用活动才能真正理解“倍”。本文指通过孩子自主探索用多种形式表征“倍”，运用数形结合等思想理解方法理解感悟“倍”，逐渐建构模型。

1. 豐富教学素材，建构概念

新课标指出，课堂教学的有效性首先取决于学生对知识生成过程的体验，通过多重体验方式让学生感知概念的形成，而一份好学习材料是组织学生体验概念形成过程的重要载体，因此在教学实践中我所采用的学习材料是丰富多样的。

第一环节：初步认识“倍”的学习素材。

第二环节：表征内化“倍”的学习素材。

第三环节：巩固深化倍的学习素材。

教学所用的学习材料很多来自学生，尤其是新知探究和加深理解的学习过程中几乎所有的学习素材都由学生创作，教师选择学习材料的范围增加，便于选择合适的学习材料促进学生对“倍”内涵的理解。这样丰富多样的学习材料给了学生更大的创造想象空间，不同的学生可以根据自己的学习能力获得不同的学习体验和收获，激发了学生学习的积极性和主动性，发挥了学生的主体作用。

2. 从具象到抽象，再抽象建模

一个数学概念，可以通过多元的形式来表征它。“表征”是指用多种形式表达数学概念或关系的行为，也指形式本身。学生借助各种表征来形成新的理解并表达数学观念，在不同的数学表征之间建立联系有助于加深学生对数学的理解。

【教学片段1】2倍建模

1. 出示第一组学习材料：3只灰兔和6只白兔，说说灰兔和白兔之间有什么数量关系。

2.为什么白兔的数量是灰兔的2倍？可以用画一画、摆一摆来思考如何表达清楚这个问题。

生1：灰兔有3只，白兔有6只，那么6只就是3只的2倍。

生2：我们可以把3只灰兔看成1倍，那么6只白兔就是2个3只，所以6只白兔是灰兔的2倍。

生3：在黑板上用圈一圈，把3只灰兔圈一起看成1份，6只白兔就圈2个圈，所以白兔的数量是灰兔的2倍。

3.教师小结规范语言：把3只灰兔看成一份，6只白兔有这样的2份，也是2个3只，白兔的数量是灰兔的2倍。

4.出示第二组学习材料：3个绿圆片和6个红圆片，

说说两种圆片的倍数关系。

5.出示第三组学习材料：学生创造自己的2倍，思考为什么这三组作品的数量都不一样却都能表示2倍呢？

小结规律：

无论以几个为1份，只要另一个量有这样的2份，那么另一个量就是标准量的2倍。

6.出示第四组学习材料：2倍模型，学生表达各自想法。

教师主动将讲台和话筒交给孩子们，通过孩子们的表达，我们可以非常清楚地看见孩子学习的轨迹，层层深入、层层递进。这一板块的设计也突出了利用多元表征，有效地建立“2倍”模型。

其一，实物表征，注重直观。借助现实生活中常见到的灰兔和白兔来理解抽象的数学概念，用到了圆片图和创造出来的各种各样的2倍图来帮助孩子进一步抽象和概括，确定倍数关系与事物外在的形状、大小、颜色等无关，只与数量这个属性相关。

其二，语言表征，抽象概念。在经历丰富的图形表征后，让孩子学会用语音来描述两个数量之间的倍数关系，用语言不断强化对“倍”的本质认识。

其三，图式表征，注重解构。在实物表征的基础上抽象成了“标准性结构”的模型，集合图作为抽象的模型，统一了不同情境表征中的“倍”的本质概念共性，促进概念有效构建。

二、解构：让本质走向清晰

解构，意思是分解、消解、拆解、揭示等意思，也可以有分析的意思。本文指通過学生通过画一画、圈一圈、摆一摆、说一说等自主来创造更多的倍数关系，进一步加深对“倍”的内涵理解，突出“倍”的概念本质——两个量的比较关系，强化概念辨析，深入意义理解，使得建构的模型更加稳固。

1. 多种学习方式，解构概念

新课标指出，学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。除接受学习外，动手实践、自主探索与合作交流同样是学习数学的重要方式。因此，创设一个“生生互动、生生互利”的学习环境尤为重要，让学生获得更大的自由表达和展示机会，让不同程度的学生都有任务驱动，真正激发他们的学习主体性、积极性，在充分的动手操作活动中感知“倍”的内涵意义，提升孩子的学习能力。

【片段2】从2倍拓展到多倍

1.同桌合作，用圆片在板贴上摆出有倍数关系的2行。思考：假如增加或减少圆片的数量，倍数关系会发生怎么样的变化？

2.学生上台交流展示自己摆出的倍数关系。

生1：我把2个蓝圆片看成一份，6个黄圆片有这样的3份，黄圆片的数量是蓝圆片的3倍。如果再摆2个黄圆片，那黄圆片的数量是蓝圆片的4倍。不停地2个2个往下摆，我发现摆几个2就是2的几倍。

生2：我把第二行的1个红圆片看成一份，第一行的6个蓝圆片有这样的6份，蓝圆片的数量就是红圆片的6倍。如果拿掉2个蓝圆片，那蓝圆片的数量是红圆片的4倍。再拿掉2个蓝圆片，那蓝圆片的数量是红圆片的2倍。我发现数量几就是1的几倍。

这一环节，孩子根据已有的知识结构，自主创造各种倍数关系，对“倍”的概念本质进行解构，清晰了两个数量的倍数关系是当把一个量看成标准量时，另一个量里有这样的几份，也就是几个标准量，那么另一个量就是标准量的几倍。通过学生自主创造的学习材料，不仅让孩子对知识本质更加清晰，同时也很好地培养了孩子的思维能力。

2.任务驱动化，解构概念

上一环节中，孩子自主创造的倍数关系，深入直至对“倍”的核心概念理解，内化了“倍”的内涵意义。但“1倍”问题经常出现于“倍的认识”教学中的难点，需要孩子再一次解构概念，这样的解构使得思维辨析更为突显。

【教学片段3】攻克难点1倍

1.出示1个蓝圆片和1个红圆片有倍数关系吗？有疑问困惑的孩子请你用圈一圈的方式，用刚才学到的本领试着来解决这个疑惑。

生1：把1个蓝圆片看成一份，红圆片有这样的1份，红圆片的数量是蓝圆片的1倍。反过来，把1个红圆片看成一份，蓝圆片也有这样的1份，蓝圆片的数量是红圆片的1倍。

2.刚才还有同学摆出了4个绿圆片和4个黄圆片，这有什么倍数关系？

3.观察这两幅图，你发现了什么规律？

生2：当倍数关系是1倍的时候，两个数量都是相同的。

这一环节，孩子在操作与思考中又一次感悟数学的本质，在精彩的思辨中再一次突出“倍”的概念本质，在实践操作中多种感官参与，发挥学生的主体作用，促进其真正地参与了知识的创造过程。

三、重构：稳固概念形成

重构（Refactoring）本意指通过调整程序代码改善软件的质量、性能，使其程序的设计模式和架构更趋合理，提高软件的扩展性和维护性。本文指通过不仅能表达清楚两种数量之间的倍数关系，还能自主创造、探究倍数关系，从一题中可以演绎出一类题。在不改变知识本质的同时，对内部结构进行重新调整。这样的结构模型在孩子的脑海里才会落地生根，才会让孩子在思考问题时做到全面、质疑、创新。通过重构，让孩子对“倍的认识”彻底清晰，让思维走向通透。

1. 创造倍数，有效重构

杜威认为“所有的学习都是行动的副产品，所以教师要通过‘做促使学生思考，从而学得知识”。因此拓展环节，笔者设置的练习也是在创造中巩固新知，发展学力。

学生体会到△既可以是标准量，也可以是比较量，进一步感受“标准量”的重要性，从这“一题”演绎成“这类”题，强调了“倍”的本质就是两个量在进行比较，标准量的变化，随之几倍也相应发生变化。最后，再通过看着这6幅图来分分类，分成三类：“△少于○的一类，△与○相同的一类，△多于○的一类”。在分类中深刻体会1倍关系的特殊性，从而初步渗透后继学习的因数和倍数。让孩子体会到知识的结构化、关联化，同时不同的孩子得到不同的收获发展，积累不同的活动经验，感悟到有序思考的思维方法和解题策略。

2. 拓展延伸，提升学力

华罗庚先生说过：数缺形时少直观，形少数时难入微;数形结合百般好，割裂分家万事休。这句话足以证明“数形结合”在数学中的重要地位。这次教学实践最后的练习设置便是很好地把握住了“数形结合”的契机，将数与形有机的结合起来。

这一“数”“形”合一的练习设计，鼓励孩子

从多种角度来思考问题，学会把抽象的数量关系转

化为合适的几何图形，渗透了通过旋转、平移等把

复杂图形变成简单图形的转化思想，也同时让孩子从图形的直观特征发现数量之间存在的倍数关系，从而达到化难为易、化繁为简、化隐为显的目的。让孩子在辨析、推理和不断的思考中重构概念，稳固内化了“倍”的概念本质意义。

四、思考：“倍”概念教学梳理

面对“倍的认识”这个“整数倍”的起始课，通过聚焦教材、教学、学情、学习素材、学习策略等，获得了“倍”概念教学的三点心得。

1.概念教学要不断地反复经历有效建模

建构主义教学观认为，概念的建构需要反复多次经历“建构—解构—重构”的过程。概念内涵的丰富，就需要学生多层次、多维度进行领悟：从直观到抽象，从具体到一般，从内涵到外延。

2.概念教学要置身于现实背景中去理解感悟

数学概念是严谨的、抽象的、系统的，而二、三年级的孩子都是以具体形象思维为主，容易理解、接受具体直观的感性知识，因此我们要提供给孩子多样的、动态的、全面的学习素材，去充实孩子的感性材料。

3.概念教学要在变式、拓展中厘清本质

变式、拓展教学，通过改变问题的非本质属性而进一步达成对本质的理解，促成学生寻找概念的横向比较和纵向联系，形成系统的概念，在对比辨析中增强思维的逻辑性和严谨性，培养多角度思维的灵活性和发散性，帮助学生深入理解概念的内涵，把握概念的本质，将教材中的知识内化为孩子头脑中的认知结构，促成知识的正迁移，发展学生的学习能力。

【参考文献】

[1]中华人民共和国教育部义务教育课程标准 （2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社， 2012.

[2]史宁中.基本概念与运算法则[M].北京：高等教育出版，2013（5）：45～48.

[3]葛素儿.基于因式 情理相融——《倍的认识》教学设计与解读[J].小学教学设计（数学版），2017（9）：34～35.