时间:2024-05-09
江苏海门市通源小学 曹晓丹/执教
江苏海门市能仁小学 杨慧娟/评析
圆对小学生来说是一次思维的飞跃,从学习一维的点、线到学习二维的面,一直接触的都曲为直”仍是一个大挑战,学生不知如何转化成他们所熟悉的直线图形成为本课的一大难点。
曾经在课堂上,问题一提出是直线图形。虽然在学习“圆的周长”时,对“化曲为直”的思想有所体会和运用,但对学生来说,用转化的方法实现圆的“化就有学生立刻回答道:“平均分成16份,再拼成一个平行四边形。”这种近似标准答案的回答,让我非常惊叹。课后调查得知,这部分学生已经预习过书本,只是照搬方法而已。如果是这样,那么课堂上热闹的动手操作,只是一群操作工的假探究。
如何让思维真正发生?站在儿童的立场去思考,去感受他们的困难。面对学生们对于“转化圆”的无从下手,我努力寻找与圆的面积贴近的生活原型。如果把从外太空拍摄到的地球照片上的边线看作近似的圆,那么与之对应的地球上拍摄到的地平线部分却是直的,借助这样一种曲直关系,在圆的面积转化中,抽象的“化曲为直”就有了实物经验的支撑,学生的思维从眼见为实走向想象探秘。
在想象探秘的过程中,学生静静地想,慢慢地试,充分地交流合作,运用不同方法“无限分割”,或折或剪拼或拉伸,把圆“化曲为直,化整为零,积零为整,逐渐逼近精确值”,这种内隐的思维在操作探索中得以生长。正所谓:脚不能到达的地方,眼睛可以到达,眼睛不能到达的地方,思想可以到达。
数学的世界充满了神奇与美丽,今天我们来研究被誉为最美的几何图形——圆的面积。(板书课题:圆的面积)
学生触摸圆的面积,思考圆的面积与什么有关?
生1:半径(出示两条半径)。
生2:直径。 生3:周长。
师:古人研究圆时得出的经验是“圆出于方”,出示正方形。这个大正方形的边长是——?根据这一大一小正方形,你估计圆的面积大约是多少?(板书:r2的4倍,r3的3倍)
师:虽然看不出一个准确的倍数关系,但根据研究圆周长的经验,大胆猜测圆的面积是半径平方的多少倍?
周长是一维空间,与直径成倍数关系,面积是二维空间,与半径的平方成倍数关系,仅利用推导得出圆的面积计算公式,往往会忽视圆面积与半径平方之间的这种关系。因此,从学生已有的经验“半径决定圆的大小”出发,以一大一小两个正方形面积为拐杖,帮助学生估计圆的面积大小与半径平方的关系。虽然没有精准的答案,但这样一个大概的范围引领我们不断逼近真相。
1.初次尝试,感受困难
师:这个大胆的猜想是否正确呢?需要我们细心求证。在大脑中搜索一下,以前我们研究一个新图形的面积时,用过什么好方法?
师:转化是一种重要的数学思想。把未知图形转化成已知图形,平行四边形、三角形和梯形都通过转化推导出面积计算公式,但是把圆转化成什么?怎么转化?值得我们思考,在小组里商量一下。
师:先说说做了哪些尝试,遇到什么困难?
生1:我们组打算转化成正方形(展示折好的图形),但是折去的这部分还是不好计算。
生2:我们打算转化成三角形(展示折好的扇形),但这个底是弯曲的。
师:以前,我们研究平行四边形、三角形、梯形时都很轻松地转化了,为什么圆那么困难呢?
生:因为圆的边是曲的,不好变直。
2.借助原型,激活联想
师:这是一个非常有价值的问题,怎样由曲变直呢?(板书:曲→直)
来看一组照片,这是从外太空拍到的地球的照片,看它的边是什么形状?这是从地球上拍到的一段地平线,什么形状?同样是地球,为什么曲的变直了?
生:因为我们看到的这段地平线只是圆上的一小部分。
师:的确,圆上足够小的一段是直的。再看咱们常吃的比萨,四份、八份,找到灵感了吗?小组里再商量一下。
全班交流转化方法。
生1:我们打算把圆折成很多份的小扇形,这个扇形会是近似的三角形。
生2:我们打算把圆平均分后拼成一个图形。
3.再次尝试,寻找联系
师:有了想法,我们就来实践。
小组探究要求
(1)小组议——把圆转化成学过的某种平面图形。
(2)齐动手——选择学具,动手操作。
(3)找联系——转化后的图形与原来的圆有什么关系。
“转化”这一重要的数学思想在前面面积计算的研究过程中已经多次体验,通过回顾方法激活学生的已有学习经验。但仅仅激活还不够,因为圆是一个曲线图形,与以往研究的直线图形有很大差别,这给学生的自主探究带来了很大困惑。在困惑之处需要老师适时地点拨引导,通过两张不同位置拍摄的地球照片比较,分比萨饼的经验,激活学生潜在的数学记忆,感悟到曲与直的关系。再借助小组合作,在交流中产生思维的火花,大胆尝试逐步解决难题。
学生展示转化的过程。
生1:我们组把圆平均分成8份,拼成了近似的平行四边形,只是这个底边还有点弯。又把圆平均分成16份,再拼,底边比刚才直了一点。
追问:想要更直怎么办?请电脑来帮忙分一分,展示平均分成32份、64份。
回头看看拼的过程,分成8份时,底边是怎样的?(用手势表示)分成16份时?分成32份时?闭上眼睛,想象分成64份、128份,分的份数越来越多,分成无限份,你脑中拼成新图形的底边是什么样的?太神奇了,眼睛到达不了的地方,思想可以到达。借助想象,我们化曲为直,把圆转化成长方形。
师:转化后,形状变了,什么没变?(板书:长方形的面积=圆的面积)
转化成的长方形和圆还有什么联系?
生:长方形的长就是圆周长的一半,长方形的宽就是圆的半径。
师:如果圆的半径是r,这个长方形的长怎样表示?宽呢?和同桌说说:根据长方形的面积计算方法怎样计算圆的面积。(板书:S=πr2)
交流不一样的转化推导方法。
生:把圆纸片对折4次,得到很小的扇形,如果继续对折,这段弧会越来越直,可以看成三角形。
师:用折的方法,把圆转化成n个三角形。那这一个小三角形的面积怎么求呢?(板书:S=2πr÷n×r÷2×n)
总结:用折成三角形的方法也推导出S=πr2,真是条条大路通罗马。回头再看看我们猜测圆的面积是半径平方的π倍,正确吗?修改为:圆的面积是半径平方的π倍。
数学思想方法是对数学知识及其探索过程理性反思的结果,是数学活动中最为本质的内核,怎样让学生感受“分割无穷多份时底边就直了”这样的极限思想呢?为了让底边更直,学生想尽办法折、剪、拼。在学生操作遇到困难,不能继续折下去和拼下去的窘境中,进行分析推理和无限想象,这种内隐的思维可以走得更远,再辅助以手势,从无形到有形,让学生用想象的翅膀触摸极限思想的神奇。
让我们走进生活来看看圆面积的应用。
1.出示例9
指出:先算5的平方。为了计算方便,还可以这样算,π不取近似值,直接用字母π参与运算。
2.出示圆形桌面
口答圆桌的面积,为了方便夹菜,在中间加了一个玻璃圆盘,这个圆盘的面积是多少?同样是求圆的面积,解决问题时有什么不一样的地方?
总结:求圆的面积一般要知道它的半径。
3.变式练习
图中正方形的面积为25cm2,圆的面积是多少平方厘米?
本片段分层练习,一是解决生活中圆的面积计算,感知圆的面积计算公式的价值,二是在变式练习中体会圆的面积与半径平方的关系,打破一定得知道半径才能求圆的面积的思维定式。
千金难买回头看,回顾今天的学习,我们是怎样得出圆的面积计算公式的?圆面积的研究过程与平行四边形、三角形、梯形有什么相似的地方?又有什么不同的地方?关于圆面积的推导,看看其他同学还有什么奇思妙想,来看一段微视频。(介绍沿半径剪开,再拉直转化成三角形的推导方法)
数学思想方法是数学学科的灵魂和精髓。在交流收获的时候注重解决问题思想方法的回顾,让学生再一次感受数学思想方法的价值,从而促进学生数学素养的形成。
“静静地想,慢慢地试”是曹晓丹老师《圆的面积》一课的设计理念,她是这么想的也是这么做的,是曹老师的课堂留给大家的真实感受,是数学核心素养在课堂上的落地生根。在她的课堂上,我们看到的是直抵学生内心的活动、思维,不急不躁、不慌不忙,无论是操作、思考还是表达,没有赶场没有表演,给足时间,真操作、真思考、真辨析,数学思维步步展开、数学素养渐渐形成、数学智慧悄悄生长。
课始,曹老师让学生猜想“圆的面积会和什么有关”,当学生漫无目的地瞎猜时,教师引入古语“圆出于方”,从而让学生的思维之路慢慢调整到正确的方向上来,然后结合着大、小正方形进行估计,从而得出圆的面积,这时的估计已经方向明确。接着,“圆的面积与半径有什么关系”“怎样把圆转化成学过的图形”“如何根据转化后图形与圆的关系,推导出圆的面积计算公式”三个紧密联系又环环相扣的问题激发学生的探究热情,思维在问题链中深入浅出。整个过程都是以学生为主体,教师在充分尊重学生思维发展的过程中,适时加以引导、点拨,使学生学习的方向始终清晰明确。课中能让学生探的尽量让学生去探,能让学生说的尽量让学生去说。在探究的过程中,学生思维活跃,争相交流,不断迸发出创新思维的火花,真正体会到了数学探究的魅力。
“化曲为直”、从有限进入无限等数学思想是数学历史发展的重大转折点,也是今天学生学习的难点。数学思想隐藏在显性知识的“背后”,学生需要通过教师的挖掘和亲身体验来感悟。对数学思想的感悟,体现了数学教学的“厚度”,是数学知识上升为数学素养的“最后一公里”。
规律、公式性教学总经历这样的过程:
具体问题具体素材初步的猜想可能的结论 检验与改进 改进了的猜想 证明 结论
其中“检验与改进”往往被简单化,原因可能就是我们总是站在成人的角度观察引导。在曹老师的课堂上我们欣喜地看到,她从儿童的视角出发,在动手操作之后并不急着交流展示个别学生的成功之作,而是关照更多学生在动手操作思考中的真实困惑。“先说说做了哪些尝试?遇到什么困难?”果不其然,那些没有能在第一次操作中如转化平行四边形、三角形般轻松转化的学生,对于如何“化曲为直”有着深深的困惑。韩愈说:“师者,传道授业解惑也。”这个“惑”怎样解呢?弗赖登塔尔说:“泄露一个可以由学生自己发现的秘密,那是‘坏的’教学法,甚至是罪法。”看来直接告知,是下下策。曹老师出示了一组照片,一幅是从遥远的外太空拍到的地球全景照,另一幅是站在地球上拍到的地平线的一小段。无须多言,学生在观察、思辨中感悟到了曲与直的内在联系。正是不急于求成的心态,从理解儿童、研究儿童出发,开放交流的空间让学生可以畅所欲言,有机会真实地提出自己的困惑,发表各自的见解,为下面把圆“化整为零,积零为整”做好充分的思维上的准备。
本课中,教者安排了小组探究,通过“小组议、齐动手、找联系”等环节,激活学生的探究欲望,在交流中共享共进,正是动手之后的动脑,敞亮内隐的认识,明晰外显的操作行为。随后组织小组展示,选取不同种类的转化方法,从“眼见”到“想象”,从无形到有形,极限思想从“实物—图像—想象—比画”的轨迹中愈发清爽和明亮。正如爱因斯坦所说:“你能不能观察到眼前的现象,不仅仅取决于你的肉眼,还取决于你用什么样的思维,思维决定你到底能观察到什么。”
千金难买回头看,一堂课下来,我们究竟学了什么?“我们是怎样得出圆的面积计算公式的?圆面积的研究过程与平行四边形、三角形、梯形有什么相似的地方?又有什么不同的地方?”三个问题帮助学生回顾的不仅是知识,还有方法、思想。重在引导学生学会反思,提高反思的意识和水平,形成长时间思考的习惯。因为数学不是单纯的工具,而是关系到数学的文化价值,特别是人类理性精神的发展。
郑毓信教授说:“通过数学帮助学生学会思维,即将数学思维的学习与具体数学知识内容的学习很好地结合起来。”“用思维方法的分析去带动具体知识内容的教学。”可见,思维是数学能力之 “核”,也是数学素养之魂。我们看到的是,曹老师的课堂上心里装着学生,她正努力带着学生“静静地想,慢慢地试”,让学生的思维不断地沉潜、沉潜、再沉潜。
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