借助数学实验落实深度教学——以《动手做：正方形的拼组》为例浅析数学实验的特征

江苏太仓市港城小学 黄海燕

一、源起

郑毓信教授在《以“深度教学”落实数学核心素养》一文中提出：我们应更深入地去思考数学作为一门基础学科对于提升个人与社会的整体性素养究竟有哪些特别重要，甚至是不可取代的作用。郑教授认为：数学教育的主要功能应是帮助学生学会思维，特别是能逐步学会想得更清晰、更深入、更合理，并能由“理性思维”逐步走向“理性精神”。

“动手做”是苏教版教材中新增的一个板块，或游戏或巩固或拓展……各活动的设计既基于单元内容，又趣味十足，是我们开展数学实验课程很好的资源。荷兰数学教育家弗赖登塔尔曾这样说过，“做数学”是学生理解数学的重要条件，也是学生学习的重要方式。但有时，在课堂上我们往往会太过注重让学生“动手”，而忽视了“动脑”，阻碍了学生思维的进一步提升。

那么，如何才能处理好“动手”与“动脑”的关系，借助数学实验的一些基本特征，让我们的数学教学更有深度。以下，笔者将结合课例《动手做：正方形的拼组》分享对数学实验的一些简单理解。

二、课例分析

教学内容：苏教版数学二年级上册P45动手做（见图1）。

图1

【片段一：用不同数量的小正方形拼长方形】

（1）8个小正方形拼不同的长方形。（1×8、2×4）

①交流：你是怎么摆的？

②引导：数学语言，把8个小正方形，摆成（ ）行，每行摆（ ）个。

③说明（出现图2两种摆法）：这两种摆法，分别想到的乘法口诀是？（二四得八）都能用“二四得八”这句口诀，我们可以约定，它们是同一种摆法。

图2

④追问：不同在哪儿？（摆的方向）

（2）12个小正方形拼不同的长方形。

①思考：有几种不同的拼法？

②同桌合作，拼一拼。 （1×12、2×6、3×4）

③交流：你是怎么想的，又是怎样摆的？还有不同的摆法吗？

④回顾反思：同学们，动手摆完了，咱们得回头思考一下。

我们在摆的过程中，可以怎么想就能做到不重复、不遗漏呢？

⑤小结：不管是想乘法口诀，还是想除法算式，我们都得做到有序思考。

（3）18个小正方形拼一个长方形。

①思考：有几种拼法，和同桌说说你是怎样想的。（不拼，脑中拼，直接说）

②集体交流：有序说出所有摆法。

数学实验是学生通过动手动脑，以“数学实验”作为学生学习数学的一种有效载体，在教师的引导下，学生运用有关工具，通过操作，重在经历规律的产生、发现和探索。简单地说，数学实验课程与传统课程相比，其最大的不同在于，若干年后，学生可能会淡忘这样一节活动课，但是他们仍能运用举例、计算、推理、猜想、验证等数学方法解决生活中面临的问题。

在该片段的教学中，笔者借助学具“小正方形”进行操作实验，并设计了三个不同层次的实验活动。

实验一：8个小正方形的拼组，在动手操作中形成“约定”。该部分“动手做”被安排在“表内乘法（一）”之后，出现在“表内除法（一）”中间，是基于学生已有的表内乘法和表内除法知识的基础上展开的，一方面学生能借助所学知识快速寻找出不同的摆法；另一方面为了学生能在数学思维上有进一步的提升，数学语言的规范应有其一定的必要性；第三，运用口诀“二四得八”，较容易与学生达成一致：“摆成2行，每行摆4个”和“摆成4行，每行摆2个”约定为同一种摆法。

实验二：12个小正方形的拼组，思考后操作验证。数学实验并不意味着仅仅是动手操作，而应以“动手做”为载体不断去“动脑”思考，应在不断思考中获得启示。因此，第二次实验活动笔者不急于请学生先“摆”，而是先“思”，借由第一次的活动经验，思考12个小正方形可能有几种不同的摆法，再用这些小正方形来验证自己的想法。通过交流，学生能不遗漏不重复地说出所有摆法，真正做到“有序”思考。

实验三：18个小正方形的拼组，不动手操作也能来验证。许卫兵老师曾指出：思维是数学能力之“核”，努力促进学生的思维发展是促其深度学习的一个重要因素。第三次实验活动，学生基于前两次探究，能运用表内乘法口诀迅速做出判断并巧用除法算式进行验证。

三次实验活动，层次清晰，架构合理，促使学生在做中学，在做中思。

【片段二：拼大正方形】

（1）提出问题：拼一个更大的正方形，你准备用几个相同的正方形来拼？

①思考：你需要几个这样的小正方形？你想怎么摆？

②要求：先数出你所需要的小正方形的个数，再动手验证自己的想法。

（2）交流：成功摆出正方形了吗？（为什么没有成功？）

（3）回顾反思：要想摆出一个大一点的正方形，需要注意些什么？

（引导发现：行数与每行的个数要相等）

（4）思考：至少需要几个这样的小正方形就可以摆出一个更大的正方形？

课件演示（图3）：用大小相等的小正方形拼成大大小小不同的正方形，并不断想象更大的正方形。

图3

片段二的教学，笔者并未按照教材直接进行提问：至少需要几个小正方形才能拼出一个更大的正方形。而是采取“问题引领”式教学：拼一个更大的正方形，你准备用几个相同的正方形来拼？笔者希望通过适当的、开放式的提问，进一步引导学生深入思考，在不断“反思”中得到新的发现，从而获得新的进步。

【片段三：拓展应用】

（1）思考（图4）：

图4

①至少添上几个这样的小正方形能使其能成为一个长方形。

②至少添上几个这样的小正方形能使其能成为一个正方形。

（2）交流：说说你是怎样想的？

（3）操作验证。

（4）思考归纳：在拼组长方形和正方形的过程中有什么异同？

片段三的教学侧重于在两次操作验证中，对长、正方形的拼组进行对比，从中进行一定的归纳，得出它们的异同。因为只有真正做到了对所学内容的理解，我们才能说学生在课堂上进行了深度学习，教师的教学也是有深度的。

三、数学实验应具备的几个特征

1.教师引导，学生为本

数学实验是数学教学的一种活动方式，需要针对某个问题进行教学，而不是讨论如何做数学实验本身。因此，数学实验需要教师的引导和启发，教师预设实验目标但并不排除实验中的生成性目标，应充分体现学生的主体性。

如：本课教学的设计源于对表内乘法的拓展延伸，因此，笔者在首稿的设计中期待学生能用乘法口诀找出所有的拼组方式。但在教学过程中，会有生成性资源的产生。如有学生提出：我用除法算式也能找全所有的拼组方式。又如：在拼组大正方形时，有的学生能依据已有经验进行合理推理，但也有学生是毫无依据的猜测。这些都是课堂教学的宝贵资源，对于好的想法教师应给予鼓励，对于存在疑惑的地方，需要通过进一步的实验加以验证。

2.数学实验应具有操作性

“数学实验属于科学实验的一种类型”，但在思维方式上又有所不同。一般而言，科学实验以改变实验对象的物理属性，从而发现规律为实验目的；数学实验则是在不改变实验对象物理属性的前提下，抽象出量或形的基本结构。

对于教育而言，科学实验与数学实验的教学理念和教学操作则是相通的，体现的是知与行的高度融合，这一实验特征在片段一的教学中尤为突出。笔者通过三次实验活动，由具体操作到先思后动，再到思而不动，在整个教学过程中学生是学习的参与者，更是知识的建构者。

3.数学实验应具有探究性

探究性学习遵循的一般步骤有三：一是让学生发现某个数学结论；二是加深对数学结论的理解；三是验证某个数学结论。

如：本课设计从实践操作入手，通过操作、观察、对比发现规律；紧接着用12个小正方形来加深认识，通过先思后摆，总结出一定的方法；最后借由18个小正方形将其思维获得提升。又如，大正方形的拼组：当学生有了大胆的猜想，就需要举例验证猜想，对于小学生的知识水平和思维能力来说，一般采用的是不完全归纳法……这些数学研究的方法贯穿了学生整个探索规律的过程中，形成组织教学的一条暗线，旨在让学生能够在数学活动的过程中感受到数学的思维方式，甚至在潜移默化的过程中迁移到今后的学习和生活中去。这远比记住一个结论、一个定理重要得多。

4.数学实验应具有科学性

任何规律的发现都是建立在数据的基础上，所有数据都建立在计算的正确性上。如：学生摆出的是“2行，每行4个”和“4行，每行2个”，列出算式分别是4×2和2×4，但使用的乘法口诀都是“二四得八”。因此在教学过程中，教师只能暂且“约定”视为同一种摆法，只是摆放的方向不同。又如：学生对正方形进行拼组时，有各自的猜想摆出观点，教师没有给出任何结论，用科学的精神将教育的时空再度打开，学生带着这些发现动手验证，在多组例证的支持下，学生能去伪存真，这便是一次有效而科学的经验的积累，是实验的价值体现。这也是与数学实验模式相吻合的教学方式。

结合数学实验课程的特点，可以说数学实验充分体现的是过程与结果、操作与思维、实验与论证、证伪与证实的有机融合，一种能够营造学生知情（不仅是知识的传授，更是能力的培养）和谐发展的教学方式。本节课的教学，仍有许多值得思考的地方，在数学实验前行的道路上，我们且行且思。