创生“学材”，让思维富有张力

江苏常熟市星城小学 朱裕华

创生“学材”，让思维富有张力

江苏常熟市星城小学 朱裕华

学生学习的目的不单纯是为了掌握知识，而是通过与学习材料的对话，去感受、经历、体验、思考，最终获得属于自己的认知和思维。这就需要教师以儿童为中心，关注学生每一次文本质疑、活动体验、经验积累、方法重塑的过程，由教材本位走向创生视野的学材建设，不断提高学生的思维能力，提升学生的数学素养。

创生 学材 思维

学生学习的目的不单纯是为了掌握知识，而是通过与学习材料的对话，去感受、经历、体验、思考，才能最终获得属于自己的认知和思维。《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“创造性地使用教材，积极开发、利用各种教学资源，为学生提供丰富多彩的学习材料。”这就需要教师以儿童为中心，关注学生每一次文本质疑、活动体验、经验积累、方法重塑的过程，由教材本位走向创生视野的学材建设，不断提高学生的思维能力，提升学生的数学素养。

一、文本质疑，突破思维的“常”

教材是教学内容的载体，在学习的过程中，受学生已有生活经验和知识经验的影响，学生与教材的对话是精彩纷呈的、个性化的、有时甚至是批判性的。教师深度引领下的文本解读，往往会收获“意料之外”的学材生成。

学习“统计表和统计图”(苏教版四年级上册)时，教材在例题后安排了一个现场调查，并给出了调查建议和填写图表（如下图）。

上面几类电视节目，你们班同学最喜欢哪一类？先利用下表在小组里调查，再在全班汇总，并完成统计表和统计图。

师：教材上建议我们先小组调查再全班汇总，你们觉得这个方法好吗？

生1：挺好的，可是我还想了解每个同学的喜好情况。（大部分学生表示认同）

师：哦，你们是想既要完成汇总又能了解到每个同学的情况。那你们想怎么调查？

生2：可以让每个同学依次报出自己喜欢的节目，用刚学习的画“正”字法记录。

生3：还可以用举手的方法，让最喜欢科普类的先举手，数出人数，再让最喜欢综艺类的举手，以此类推。

生4：举手的方法我补充一点，不能重复举，不然就统计不准了。

师：那大家商量一下，更愿意采取哪种方法？（学生大部分选择画“正”字的方法，觉得这个方法不容易出错）

我班共42人，最后统计结果是：科普类9人，综艺类24人，动画类6人，体育类3人。要将这个结果绘制到条形统计图中，意外出现了：

生（众）：老师，这个统计图的纵轴上最多20人，画不下啊。

师：看来专家也没料到我们班会出现这样一个统计结果。那该怎么办呢？

生1：可以在顶上添4格。

生2：不对，这里一格代表2人，综艺类多出了4人，添2格就够了。

师：添是一个不错的办法！可书上也没预留空位给大家添啊，不添能解决这个问题吗？

生陷入了沉思。

生3（猛地举起了手）：可以把纵轴上的每格改为表示3人，那这样就画得下了。（受到他的启发，其他同学顿时眼前一亮，继而发出了热烈的掌声）

……

调查不仅只是为了得到统计结果，还应分享统计过程所反映的信息，学生一开始就给我以冲击。他们大胆提出自己收集数据的方法，弃用了书上的小组统计表，直接画“正”字统计到班级统计表中，当统计结果意外地不在书本的预设范围时，更是敢于向书本权威挑战，改变纵轴上一个单位长度所表示的人数，从而顺利完成统计图的制作。“这真是一次有意义的调查，这真是一次勇敢的挑战！”我由衷地给这群可爱的学生们点赞：“你们不拘泥于教材提供的方法和图表，敢于突破常规，真正做到了让教材为我所用。”学生们也真情地回应：“我的统计我做主，我的课堂我做主。”

“教材无非是个例子。”它为学生提供了学习的内容，但无法规定学生思考的边界，对文本的质疑，恰恰让我们惊喜地听到了思维“破壁”的声音！

二、活动体验，创设思维的“场”

“要让学生在学习活动中体验和理解数学。”数学理解，尤其是数学概念的理解，只有为学生提供充分的活动体验材料，才能让学生在认知结构与思维结构之间架起一座无形的桥梁，达到知情合一的学习。

如《三角形的认识》一课，一位教师为了帮助学生认识“什么是三角形”，组织了一系列活动。

活动（一）：画三角形，初步发现三角形的特征。

师：试着自己画一个三角形。（学生操作后实物投影展示交流）

生1：先画一条线，再画一条线，然后画第三条线。（边说边在自己所画的三角形上比画）

师：你画了几次？（3次）这三条都是直直的——（线段）。

生2：我是先确定三个点，依次把三个点连起来画出了一个三角形。

生3：我是先画了一条线段，再在线段外定了一个点，将这个点依次和线段的两个端点连起来。

师：同学们真棒，用这么多不同的方法画出了三角形，虽然画法不同，但哪些方面是一样的？（引导认识：都有三个点、三条线段、三个角）

呈现学生中出现的错例：一个一边画出头的三角形、一个两边没接住的三角形。师：这两个是三角形吗？为什么？（引导学生进一步认识到：三条线段要“首尾相接”）

活动（二）：判断凸显三角形特征，建立概念。

师：下面一组图形，哪些是三角形？哪些不是？为什么？

学生观察、判断并说明理由（略）。

师：那现在你们能说说到底什么是三角形了吗？

在学生进行了充分的表达后指出：三条线段首尾相接围成的图形叫三角形。

引导学生认识三角形的边、顶点和角。

活动（三）：再画三角形，研究三个顶点的位置关系，丰满概念。

出示问题：右边的方格纸上有4个点，从这4个点中任选3个作为顶点，都能画一个三角形吗？你有什么发现？

（展示学生所画的不同的三角形）师：这些所画出的三角形，在选择顶点的时候有什么共同的地方？

生：都选到了点A。

师：这是巧合还是必须选到点A？

生：必须选到点A，因为点A跟点B、C、D不在一条直线上。

师：任取一个我们画出的三角形，想象一下点A还可以在哪里也能围成三角形？

交流发现：只要三个顶点不在同一条直线上就能围成一个三角形。

三角形概念的建立应是一个逐步抽象概括的过程，在这一环节，教师组织了丰富的活动。先让学生试画三角形，通过交流认识不同画法中的共性，即三角形都有三条边、三个顶点和三个角，使学生获得对三角形特征的初步感悟。接着通过判断，使学生进一步明晰三角形的表象，并让学生用自己的语言来说说什么是三角形，以儿童的视角来解释、抽象三角形，逐步完善概念。然后再画三角形，让学生在再次操作的基础上，展开想象，发现：只要三个顶点不在同一条直线上就能围成一个三角形，使学生对三角形的认识趋于深刻。

通过经历这样充分的操作、观察、发现、思考、交流活动，使学生始终沉浸在“什么是三角形”的思维场中，学生的思维不再是被架空的，而是可触摸的、丰满的。

三、经验积累，促进思维的“变”

数学学习是一个经验不断积累、修正和完善的过程。基于某一数学模型的创生和发展过程，为学生选择和提供类似的、系列化的学习材料，为学生培植经验生长的土壤，“让学生学会用数学的语言表达世界”。

教学“乘法分配律”时，一位教师改变了书本例题，利用几何直观展开教学：

师：熊出没农场有一个长方形果园，原来长80米，宽20米，扩大规模后，长增加了30米。现在这个果园的面积有多大？（如下左图）

引导学生用不同的方法求两个果园的面积和，并形成等式。

师：如果由你自己决定长增加的米数，你决定增加几米？准备用哪两种方法解决这个问题？能像上面一样写出一个等式吗？（如上右图）

学生自主探索，教师选择部分学生得出的等式交流板书。

师：比一比，等号左边的算式和右边的算式有什么相同和不同的地方？（引导学生初步感知乘法分配律模型，略）

师：熊出没农场中还有几块菜地（如下图），如果让你从这四块长方形菜地中任选两块拼成一块大的长方形菜地，你会怎么选？你还能通过算出它们的面积和，得到黑板上这样的等式吗？

学生活动，交流呈现两种拼法及相应的等式。

师：为什么有的菜地拼在一起可以写出一个等式，而有的不行呢？（将交流指向乘法分配律的本质，有一个数相同，理解乘法分配律模型，略）

师：这是菜地图的一种拼法，如果用字母a、b、c来表示这两个长方形的长和宽（如图）。此时又可以写出怎样的等式？

板书：（a+b）×c=a×c+b×c。

师：这个规律在数学上叫作“乘法分配律”。

师：这里的a、b、c还能表示哪些数？

……

本例中，教师首先引导学生计算“现在这个果园的面积有多大”，让学生亲历等式形成的过程。接着，将“增加30米”变为不确定量“（）米”，让学生自由编写等式，这一变夯实了学生得到等式的经验，并初步感悟等式两边算式的联系及特征。然后，出示4种不同规格的长方形（其中三块两两之间或者长相等或者宽相等，一块长与宽都不相等），这一变变在了学生思维的关键处，对学生从本质上认识乘法分配律（即乘法分配律中必须有相同乘数）起到了关键作用。最后，将具体数据抽象成字母，在“式”与“形”与“数”的结合中，推而广之，使学生从更一般的层面上认识乘法分配律，完成模型的建构。

为使学生有效建构乘法分配律这一数学模型，教师精心安排了一系列学习材料，通过相似素材的局部变化，促使经验不断生长，捕捉和预设思维的变化点，顺利实现思维的提升。

四、方法重塑，交织思维的“网”

数学知识之间有很多重要的联系，有的往往又隐藏于看似简单的知识背后，有时是一道习题，有时是一个已经明了的知识链。深度挖掘这些简单知识背后的关联处，只要一个得当的学习材料便能承载思维之重。

“平面图形的面积关系”的复习课中，浙江省特级教师张翼文老师就引领学生展开了一次新的探索。

活动材料及要求：请在格子图中画出高为4cm，面积为20cm2的梯形（每个小正方形的边长是1cm）。

学生活动，明确：上下底之和为10cm，高4cm不变。

展示学生画出的不同梯形，如：上底4cm下底6cm，上底3cm下底7cm，上底2cm下底8cm，上底1cm下底9cm。（顺次板贴如上四种梯形）

师：只有这四种吗？

生1：还可以是上底1.1cm，下底8.9cm。

生2：上下底可以是整数，还可以是小数、分数。

引导继续举例，并板贴：上底0.9cm下底9.1cm，上底0.8cm下底9.2cm……上底0.2cm下底9.8cm，上底0.1cm下底9.9cm（高4cm）的梯形。

师：这样的梯形还有吗？有多少个？只要满足什么条件？

生：这样的梯形有无数个，只要保持上、下底的和为10cm。

师：请你静静地看过去（指板书中梯形的呈现顺序），有什么发现？

交流两个维度的观察：看数据，上底越来越小，下底越来越大；看图形，越来越像三角形。

想象：A和B越来越靠近，当A和B重合时，就变成了——三角形。

推理：S=（a+b）h÷2→b=0时→S=ah÷2，所以，梯形的面积计算公式对三角形同样适用。

再想象：如果上底变大，下底变小，当上底和下底相等时，就变成了——平行四边形。

再推理：S=（a+b）h÷2→a=b时→S=2ah÷2=ah，所以，梯形的面积计算公式对平行四边形同样适用（长方形是特殊的平行四边形，也适用）。

追问：a和b怎样时，就是梯形？（a和b不相等时）

复习并不是对已学知识的简单呈现和叠加，而应是在原有知识基础上的延伸和发展。教师通过一个画图活动，在学生自主活动、展示交流的基础上，有序呈现等积等高、上下底逐渐变化的梯形。然后引导交流、想象、推理，巧用直观，扣准变化趋势，引导学生深度思考这三个面积计算公式之间的内在联系。如果说新知学习时长方形——平行四边形——三角形、梯形的推导经历是知识的分（发展）的过程，那么这次复习则是把这些公式再次统整的合（融合）的过程。两次学习历程，看似是两条不同的思维通道，实则它们之间密不可分，相互交织，已然在学生头脑中交织成了一张更大的思维网。

由一道常见的画图题引领学生想开去，回眸梯形、三角形、平行四边形的面积计算公式，让思维的触角延伸再延伸，这一学习材料虽然简单却极其厚重！♪