小学数学“0～9数的认识”单元知识结构的确立（下）*

□徐文彬 陈韵娴,2 潘禹辰

“体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间”的“三重联系”［1］，是确立单元知识结构的重要依据。第一重联系指向学科知识，视为单元的内部知识结构；第二、三重联系指向相关学科或领域知识、经验性知识，视为单元的外部知识结构。两者共同组成一个较为完整的知识结构体系。

一、“0～9数的认识”单元的内部知识结构

依据本刊上一期刊发的《小学数学“0～9数的认识”单元知识结构的确立（上）》的前序分析，“0～9数的认识”单元的内部知识结构以落实“数感”培养为导向，以“十进位值制”为核心概念，划分为数的意义、数的形式、数的运算三个主要的知识模块，并可进一步细化为十个子模块。对“0～9数的认识”单元的内部知识结构进行编码，A1、A2、A3分别对应数的意义、数的形式、数的运算三个主模块，B1～B10则对应十个子模块（如表1）。

表1 “0～9数的认识”单元的内部知识结构

“0～9 数的认识”虽然不包括“10”，但已经涉及了十进位值制。十进位值制意味着记数遵循满十进一的规则，记数制的基本符号包括“0～9”；反之，将“0～9”作为整体，便说明其所在的记数系统采用十进位值制。因此，从整数范围看，“0～9 数的认识”单元应将十进位值制作为核心概念，充分发挥其孕伏作用，并为后续“10～20”数的认识、100以内数的认识等更大整数的学习奠定基础。

十进位值制作为一种思想，由两个基本原则决定：一是仅仅使用“0～9”10个数字符号；二是通过把这10 个数字符号放在不同的数位上，写下所有可能数出的数。［2］前者体现十进制，决定了以“10”为计数的基础或进位制，催生更多数位以表示更多的数；后者体现位值制，即位置值制，指相同的计数符号在不同位置可以表示不同大小的值。［3］

（一）模块A1：数的意义

数的意义针对自然数展开，以数概念的两个属性基数、序数为基础，衍生出数的顺序、数的大小比较、数的分解与组成。

1.子模块B1：基数

“基数”是数概念的属性之一，它体现为自然数是一切等价的有限集合的标记，表示集合所含元素的个数，回答“有几个”的问题。弗赖登塔尔将它称为“数量的数”形式化的结果。从康托尔集合的势的观点来看，元素个数的概念可以通过“等势”而非“计数”得到，即两个集合之间一一对应。［4］164这种浅层抽象是人类认识自然数的“第一步抽象”［5］107，也易于被学生接纳，是教材引入数的普遍方法，即创设现实背景，表达现实物体数量的多少，以半抽象的图像（小方块、小圆圈等）为对应的中介，在形式上逐渐去除数量的后缀名词，在实质上逐渐去除数量所依赖的现实背景，进而将数量抽象为数。简言之，就是“实物的数量—半抽象图形的个数—数”。

2.子模块B2：序数

“序数”是数概念的另一个属性，它体现为自然数能表示某个有序集合中每个元素所占的位置，反映事物记数的顺序性，回答“第几个”的问题。“第几个”是教学中常常被强调的一个方面，但教师往往会忽视其更具教学意义的本质——弗赖登塔尔称之为“计数的数”，通过完全归纳法和皮亚诺公理达到形式化［4］169。具体而言，后一个数是前一个数的后继数，通过“后继”，以“一”为单位无限制地重复“加一”，就能产生任意自然数n。这是一种较为深层的抽象［5］108，是自然数之间的大小关系、运算关系的重要基础，有助于整体认识自然数。

3.子模块B3：数的顺序

“数的顺序”由序数属性衍生而来。根据序数的属性，自然数按自小而大的顺序可以标记为“0，1，2，3……n，n+1……”自然数序列是一个无限延伸的过程，且直观体现出后一个数都比前一个数大1的关系，这就是数的顺序。

4.子模块B4：数的大小比较

“数的大小比较”由基数和序数的属性共同衍生而来，是基于数量集合所含元素多少的比较，或结合数序抽象为数的大小比较。一方面，可以通过对应关系，将两个及以上同质或不同质的离散物体一一对应，得到“同样多”“谁比谁多（少）”的数量关系，并抽象出数的大小比较；另一方面，也可以直接通过计数得到集合各自所含元素的数量，这需要结合数序进行，较前者更为抽象。

5.子模块B5：数的分解与组成

“数的分解与组成”由基数的属性衍生而来，一般从“计数”的角度出发，按照“个与群结合”的原则，将一个数分解为几个一、几个十、几个百等，也就是这个数分别包含了几个这样的计数单位，这同时也与数的读、写相呼应。

（二）模块A2：数的形式

数的形式针对我国自然数的表示方式展开，包括读数、写数两个子模块。

1.子模块B6：读数

中国汉语的口语记数系统本质上是一种“乘法分群数系”，遵循“符号+数位”的读法［6］8，读出计数单位及这些单位的个数。为了读数简洁，依照“从高位读起，四位一级，每级按照个级的方法，在级尾给出级名，级首有零一定唱，级中有零一个算、级尾有零全不管”［7］140的法则，与“位值原则记数法”相呼应。“0～9数的认识”仅涉及个位，读数时计数单位“一（个）”省略不读。

2.子模块B7：写数

“写数”一般有两种方式：一是位值原则记数法，借助数位表记数，哪个数位上有几个计数单位就写“几”，一个计数单位都没有就写“0”，故一个数字不仅有自身值，还有位置值；二是科学记数法，通过合并位置值与自身值来描述数量信息，写成10的若干次幂的和的形式。［7］141“0～9数的认识”虽然只涉及“0～9”，但作为组成所有自然数的符号，其书写理应受到重视。

（三）模块A3：数的运算

数的运算针对自然数展开，子模块加法运算、减法运算和连加、连减、混合运算均由运算意义、运算律、运算顺序、解决实际问题等知识内容构成。其中，运算律由运算意义决定，作为运算本身固有的一种规律，又规定了运算顺序；解决实际问题则在这三者基础上，联系实际情境展开。

1.子模块B8～B10之运算意义

“运算意义”实质上由完全归纳法和皮亚诺公理决定，是以计数为基础的重复后继的表达。具体而言，正向计数为加，反向计数为减，且减法是加法的逆运算；几个几个正向计数为乘，反向计数为除（能够数到0就是整除，不能数到0还剩几个就是有余数的除法），且除法是乘法的逆运算。

“0～9 数的认识”涉及加法与减法。加法是从一个加数开始（不包括本身），接着往下数另一个加数那么多的个数，其本质特征为“加上一个自然数比原来的数大”（减法同理）。［6］195在本单元的9以内数加减法中，学生往往通过计数来完成运算，常用的是“两重”计数，比如在“6+3=9”中，既要知道从6开始往下数，又要知道应继续往下数3个。［8］

2.子模块B8～B10之运算律

小学阶段涉及的五大运算律可以分为以下三类：加法和乘法的交换律、加法和乘法的结合律、乘法对加法的分配律。从本质上看，加法和乘法的交换律只改变算式中数的位置，而不改变运算顺序；加法和乘法的结合律只改变算式的运算顺序，但不改变数的位置；乘法对加法的分配律则体现了一种加法与乘法的联结。

虽然运算律在第二学段集中学习，但在“0～9数的认识”中早已有所渗透。比如，4 朵花放在两个筐里，从形式上看，“第一个筐1 朵，第二个筐3朵”“第一个筐3 朵，第二个筐1 朵”是两种放法，但若除去筐的位置这一物理特征，这两种放法在本质上是一样的，这就是“加法交换律”的早期渗透。同样，在“部分—部分—整体”结构的加法问题中，调换两个加数的位置，得数一样。

3.子模块B8～B10之运算顺序

从数学史来看，“运算顺序”是规定运算书写习惯的一种约定性知识，具有人为性。有括号时，先算括号内的；没有括号时，同级运算从左往右依次计算，非同级运算先乘除后加减。目前大部分教材都采用结合具体情境中每一个运算符号所指向的意义来说明应该先算什么、再算什么，但实际上这种方式并不能说明计算对应谁先谁后的道理。如算式“4-2+3”，按照从左往右的规定，得数为5，这或许是因为人们习惯从左往右书写、阅读，所以就采用从左往右的顺序进行同级运算。

“0～9 数的认识”中的连加、连减、加减混合运算就涉及了加减同级运算顺序的问题，虽然这只是一种约定俗成，但在实际教学中，由于学生年龄尚小，认知发展水平较低，还应考虑从情境着手进行解释。

4.子模块B8～B10之解决实际问题

不同的问题情境决定了运算的结构。与“0～9数的认识”密切相关的运算结构有合并、分开、部分—部分—整体、比较四种类型，依据未知数不同，每种类型都有三种变式，每种变式的难度也各不相同。［9］因此，创设问题情境至关重要，应鼓励学生依据情境自己讲故事，讲什么样的故事就列什么算式，按照“情境—故事—符号（算式）”的路径解决实际问题。

二、“0～9数的认识”单元的外部知识结构

依据教材中例题和习题的情境、拓展板块的知识及其他相关文献，将“0～9 数的认识”单元的外部知识结构确定为两个维度8个方面（如表2）。

表2 “0～9数的认识”单元的外部知识结构

（一）相关学科或领域知识

历史学、文化学、语言学、经济学、计算机科学等多个学科或领域都可能与“0～9”密切相关。

1.历史学：与记数法的起源与发展相关的数学史

将有关记数法的起源与发展的数学史融入教学，有助于调动学生学习兴趣，理解数的抽象概念。学生学习自然数概念的过程与人类自然数概念的漫长演化道路相吻合。自然数概念的演化一般经历集合的质、手算、群的计数、结绳数、结绳数的计数等多个阶段［10］；其后，数的符号表示与记数原则又经历了数千年的发展，在中国、巴比伦、古埃及、玛雅等国家和地区先后出现了各不相同的记数系统，并经过不断的传播与演变，至16世纪形成国际通用的采用十进位值制的印度-阿拉伯记数系统，但诸如罗马数字的一些记数符号如今仍被使用。

2.文化学：十进位值制及相关计数工具

十进位值制的诞生是具有数学素养的“文化创造”，基底为“10”与人类生理上具有十根手指相符，学生应意识到用十计数是人类精神文化的重要层面。在我国，算筹、算盘是十进位值制的数学文化的产物，作为齐性、逻辑结构化的计数工具，即使算筹或算珠的个数相同，但如果它们所在的位置不同，那么它们表示的意义也不同，这为数的表示与运算带来了便利。

3.语言学：数字的多种语言表达

当下的教育注重学生第二语言的学习，这有助于拓宽学生国际交流的视野。在我国，英语的学习非常广泛，大多数小学生的英语已经入门，能说出较小自然数的英语表达。

4.经济学：数与运算在商业中的应用

贸易、定价、货币、借贷等活动是“数”的概念形成的源泉，有助于学生体会数与运算在不同商业场景中的功能。例如，贸易中常看到四种算术运算：加法用于求总数，减法用于结账，乘法用于重复计算，除法用于等分。［11］又如，货币设计中蕴藏着数学智慧：为了防止数字被篡改，多采用中文大写数字“壹”，而不采用中文小写数字“一”。

5.计算机科学：计算机的二进制及其运算

国际通用的阿拉伯数字采用进位制中以“10”为基底的记数系统，然而也有很多领域采用进位但基底非“10”的记数系统。比如，现代的计算机和依赖计算机的设备中均使用二进制——以“2”为基底的进位制，只需用“0”和“1”两个数字符号，用以“2”为底的幂作为位权，逢二进一。二进位制的四则运算规则十分简单，简化了电子计算机中的运算器线路，大大提高了运转速度，且二进制的符号“1”和“0”恰好与逻辑运算中的“对”与“错”相对应，便于计算机进行逻辑运算。这样的知识符合高年级学生的认知水平，有利于他们感受进位制的便利性。

（二）相关经验性知识

学生在生活情境中获得了对数的初步了解，可以让他们在熟悉的经验中建构知识技能，从而进一步适应未来的生活和发展。

1.常见的生活情境

常见的生活情境可作为教学的素材。各版本教材在“0～9数的认识”中使用的情境有的充分贴合学生日常生活，比如排队、领奖、上下楼梯等；有的富有童真童趣，比如以动物为主人公的动物玩耍、举办动物运动会等；有的融合德育，比如在大扫除、植树浇花等劳动场景中呼吁学生保护环境、爱护自然。

2.数字的不同含义

儿童生活中所见所用的数，以及对“有几个”“第几个”的回答有助于他们对基数、序数含义的学习。序数含义不仅体现在与序列位置相关的情境中，还体现在数字编码中，如门牌号“205”大多表示第二层第五个房间。

3.常用的进制

除了自然数的十进制、计算机的二进制，学生在生活中还会遇到许多其他进制，如时分秒中使用的六十进制、一斤等于十六两的旧制以及一天有二十四小时、一周有七天、一年有十二个月等，这些进制拓展了学生的知识面。

三、“0～9数的认识”单元知识结构

以外部知识结构承托内部知识结构，便形成了“0～9数的认识”单元知识结构（如图1）。

图1 “0～9数的认识”单元知识结构图

以数的产生为切入点，“一”为自然数的基本计数单位，累加形成“0～9”的自然数，并依托十进位值制继续累加形成由“0～9”在不同数位组成的不同的自然数。

数的意义、数的形式是两个相互联系的知识模块：数的意义由序数、基数两个基本属性组成，两者共同反映了离散事物的记数特征［12］，在“计数”的过程中相统一，即在序数属性的统领下，通过计数，便能将集合中每个元素分别和有顺序、次第的自然序列中的一项相对应。简言之，“数到几”就表明它是“第几个”，并且能知道数到这里为止有“几个”［13］；序数衍生出数的顺序，基数衍生出集合所含元素多少的比较，在这两者的基础上，进一步进行更为抽象的数的大小比较；基数同时衍生出数的分解与组成。数的形式则由读数、写数两个子模块组成。

数的运算是在基数的意义下，基于数的意义、数的形式建构而成的：从运算意义来看，加法由重复“后继”得到，减法由反向“后继”得到，二者互逆，共同衍生出连加、连减、加减混合运算。这三个子模块的学习要以问题情境为支撑，指向解决实际问题，运算律的渗透则以推论性加减出现。

确立“0～9 数的认识”单元知识结构是单元整体教学设计的第一步，将为后续建构学生学习心理过程、把握单元学习目标和重难点、制定单元学习评价标准、组织单元学习活动乃至开发单元学习用具奠定基础。