数形结合思想的内涵意蕴及培养策略*

□ 顾晓东

基本思想是《义务教育数学课程标准（2011 年版）》提出的“四基”之一。数学思想方法不同于一般的数学概念和技能，它需要在教学中长期渗透和影响才能够形成。抽象、推理和建模是三大基本数学思想，另外还有如分类、化归、数形结合等思想方法。其中数形结合思想在小学数学教学中具有十分重要的意义。

一、数形结合思想的内涵意蕴

数学是研究客观世界中数量关系和空间形式的一门科学。客观世界中现实具体的数量及其关系被抽象为数学中的代数结构，主要以符号化语言呈现，包括数、数量关系式、运算式、方程、函数等；物质的空间形式则被抽象为数学中的几何结构，主要包括几何图形、坐标系、函数图象等。“数”和“形”存在着密切联系，在内容上相互关联，方法上相互渗透，在一定条件下可以相互转化。

著名数学家华罗庚非常重视“数形结合”，他说：“数无形时少直觉，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事休。”形象、生动、深刻地指出了“数形结合”思想的价值，也揭示了“数形结合”思想的本质，是解决问题的一种特殊思想方法。

“数”“形”之间往往存在着对应关系，这种对应关系是数形结合思想的基础，体现为两种互补的思维方式，即“以形助数”与“以数解形”。前者指以“形”为手段、“数”为目的，将数量关系转化为图形关系，化抽象为直观；后者指以“数”为手段、“形”为目的，将图形关系转化为数量关系，化直观为精确。[1]

需要指出的是，数学意义上的“形”，主要是指几何图形和图象。刘加霞认为，借助于直观形象模型理解抽象的数学概念以及抽象的数量关系是小学生学习数学的重要方法，但这一方法与数学意义上的数形结合思想的内涵不一致。[2]比如学习3+2=5时，通过摆实物或几何图片来帮助学生理解算理，这里的实物、几何图片并不是数形结合中的“形”，因为这里并不关心几何图片的形状和大小，并没有赋予图片本身形状和大小的量化特征，甚至不用图片而用小棒等材料也能起到相同的作用。因而这种直观模型至多只能是数形结合思想的雏形。如果用数轴，使数和形在数轴上形成对应关系，从而进行累加得出结果，那么这才是真正意义上的数形结合。当然，在准确把握数形结合思想本质的基础上，再从广义的角度来理解数形结合也未尝不可，即借助实物、图形来理解数、运算、数量关系，都可以理解为是一种数形结合。[3]下文中所提及的数形结合均指广义层面上的数形结合。

小学生在数学学习过程中，受知识经验和思维水平的限制，常常很难用语言解释清楚一些概念、性质以及一些较复杂的实际问题的解决，这时教师利用数形结合思想，借助图形图象实现直观表达，就可使抽象问题直观化、繁难问题简捷化。小学阶段是渗透和培养数形结合思想的初始阶段，教师应加强对数形结合思想内涵特质的研究，善于结合合适的教学内容，启发学生通过数形结合来进行合理准确的数学思考，让原本需要抽象思维解决的问题可以借助形象思维得以解决，从而促进数学知识的理解，提高问题解决能力，同时也有利于小学生抽象思维和形象思维的协调发展，有利于其数感、几何直观、数学建模、数学推理等学科素养的发展。

二、数形结合思想在小学数学中的渗透应用

作为学生学习数学的重要方法，数形结合思想在小学数学教学中有着广泛的渗透，下面从“以形助数”和“以数解形”两个维度，分类列举一些渗透应用例子。

（一）“数与代数”领域中的“以形助数”

1.数概念教学中以形助数促理解

认数是“数与代数”领域中的重要部分，自然数的产生和形成包含着数形结合的基本思想。如自然数在抽象过程中，先用半抽象半直观的图形符号来取代具体事物，最终用抽象数字来表示，在这个认识过程中，以形助数的思想方法得到了自然运用。再如计数单位的产生和形成，其原始的想法也体现数形结合思想。人们在记录捕获猎物数量时，先用小石子记录，随着数量的增多，每满十颗小石子就换成一颗稍大一些的中石子，满十颗中石子又换成再大一些的大石子……在这个“形”的变化过程中产生了自然数的不同计数单位。在研究数的组成时，教材通常用若干个小正方形来直观表示多个“一”，用多个直条（10个小正方形组成1条）来表示若干个“十”，用一个大正方形（10×10 个小正方形）来表示一个“百”，这种数形结合的方式能够让学生直观地理解计数单位和数的组成。

随着学生数概念的不断拓展和丰富，教材引入了数轴（数线），让学生理解自然数、分数、小数等各种数都能在数轴上找到对应的点，这为数的可观测、可比较提供了直观的图象支撑。数可以视为点，点可以视为数，为数的运算概念理解和法则解释提供了直观的几何化支持。

2.运算教学中以形助数探算理

学生在掌握计算法则、理解算理时也需要借助于直观的“形”。不管学习的是加减法还是乘除法，是整数的运算还是分数、小数的运算，都离不开图形（包括小棒、小方片等实物），如自然数的加减法，就可以通过小棒、小方片等实物的操作来感受运算的意义，探索运算的方法，形成运算的技能；在探索分数乘除法的计算方法时，更是需要借助线段、长方形等几何图形来帮助学生进行自主探索，学生在具体可见的图形操作中对抽象的算法有了直观的理解。再如探索乘法分配律时，学生在不完全归纳中认识了规律。教师为了让学生进一步理解规律的本质，在教学中通常也会采用“以形助数”的方法，利用长方形图展开数形结合的推理，培养学生初步的演绎推理能力。

3.问题解决中以形助数悟思路

波利亚曾说：“图形不仅是几何题目的对象，而且对与几何一开始没什么关系的题目，图形也是一种重要的帮手。”[4]在解决问题时，学生借助示意图或线段图来表征问题情境中的元素与结构，实现对问题的把握和理解，获取一些可供解释或转化的隐秘信息，启迪思考方向，促进问题解决。如“解决问题的策略——替换”教学中，利用长方形大杯和小杯的直观图，促使学生萌发替换的思路，把握题中数量关系；在“鸡兔同笼”问题解决中，引入面积图来表征题中比较复杂的条件信息，使数量关系得到直观化呈现，学生由此萌发解题思路。此外，在一些探索规律的数学问题中，往往也可以借助图形来表征数量，如探索“和的奇偶性”时，教师可以引导学生在举例、猜想、验证等活动中归纳出规律，继续用图形来表示奇数和偶数，从本质上理解和的奇偶性产生的道理。

4.正、反比例中以形助数明关系

学习“正、反比例关系”时，教师可引导学生把具有这种关系的两个量在直角坐标系中直观地“表示”出来，实际上这就是正比例函数、反比例函数的图象。借助这些直观图象，学生可以更深入地理解抽象的正反比例关系，如感知两个量的依存关系，当成为正比例关系时，直线型图象表示一个量随着另一个量的增加而增加；当成为反比例关系时，双曲线型图象表示一个量随着另一个量的增加而减少，还可以由此看出变化的极限状态，即一个量趋向无穷时，另一个量趋向零。

（二）“图形与几何”领域中的“以数解形”

1.图形认识与测量中的以数刻画形的度量特征

对几何图形的认识和理解需要从数量上来精确刻画图形的长短、大小、形状，例如长为8 厘米、宽为5 厘米的长方形，其面积为40 平方厘米，长和宽相交成90°，这些都是在运用“数”刻画长方形的度量特征。图形测量的本质其实就是记录所含测量单位的个数，这种记录单位个数并进行相关计算的过程，就是用代数的方法来解释、解答有关几何图形中的问题，使图形的问题“代数”化。

2.图形位置的以数刻画

在“用数对表示位置”的学习中，将“座位”平面图抽象为比较形象的“直角坐标系”，建立“数对”与平面上“点”之间的一一对应关系，学习用有序数对来表示平面上的点，这是学生进一步理解“数形结合”思想的又一重要载体。这样的渗透性教学能使学生体会代数与几何之间的密切联系，拓展学生的数学认知视野。在平面直角坐标系的雏形中，图形经过平移、旋转、缩放等方式的位置变换，也可以用“数”来刻画和确定。

三、小学生数形结合思想的培养策略

小学生因受年龄特征、思维水平和认知结构的限制，培养其数形结合思想的教学应以渗透为主，做到适度引领、循序渐进。教师要深度解读教材，寻找并挖掘能够渗透数形结合思想的知识点，引导学生从体验感受数形结合思想入手，逐步走向迁移应用。

（一）渗透孕育期：在渗透与模仿中触发数形结合思想的萌芽

小学低中年级主要通过教师的示范引领，帮助学生感受数形结合在描述分析和解决问题过程中的作用，从而不断地激发学生对数形结合思想的学习兴趣。同时也可以适当地指导学生模仿用线段图等来分析和解决问题，从而进一步体悟数形结合的价值，强化学习和应用的兴趣。

如在认识3，4，5等自然数时，教师可首先呈现一些实物图片让学生数一数，感知具体数量的多少，让学生初步感受到数和形之间的对应关系，体现了数形结合思想的启蒙。再如在学习加减法意义及运算时，教师可先采用直观的几何图片、小棒等进行教学，然后引入抽象的数线，引导学生在数线上寻找对应的数，认识到加法就是先找到第一个加数，然后向右数出另一个加数而得到和，而减法则是先在数线上找到被减数，再向左数出减数而得到差，让抽象的“数”和“式”变得直观形象，有利于学生理解运算意义。

在解决一些实际问题时，教师可让学生模仿着画线段图来直观呈现条件信息，帮助厘清数量关系。如教学有关“倍”的实际问题：杨树有5 棵，柳树的棵数是杨树的3倍，两种树一共有多少棵？教师示范用一条线段表示“杨树有5棵”，进而让学生模仿着用线段来直观表示出“杨树的3 倍”这个条件，初步体会线段图的直观简洁性，然后引导学生通过线段图来分析数量关系，寻找解题思路，此时学生不仅能够找到“先求出柳树棵数，再把两种树的棵数加起来”这一常规解法，还能从线段图中发现“总棵树其实就是杨树棵数的4 倍”这个特殊的解题思路。

教师在第一学段的教学中应注意分析和发掘教材中体现数形结合思想的典型内容，有意识地渗透和示范，并启发学生模仿，使学生萌发数形结合的初步意识。

（二）尝试积累期：在选择与对比中积累数形结合思想的学习经验

在此阶段，教师可以有目的、有计划地结合相关的教学内容，启发和点拨学生利用图形描述、分析问题，不断积累“以形助数、以数解形”的经验，进一步感受数形结合思想在解决问题中的价值，让学生逐步由“知道用”走向“会用”。其间，教师应注意帮助学生提高对图形的选择能力和分析推理能力。

1.提高学生由数到形转译过程中几何图形的选择能力

数形结合中的“形”具有多种样态，有线段图、方形图等直观形状，选择合适的“形”来表征数量能助力思考。比如，在教学“分数乘分数”时，教师可运用“以形助数”的策略启发学生对“形”的选择。

第一环节：以多样化“图形”表达“数”。出示题目：“一台拖拉机每小时耕地公顷小时耕地多少公顷？”请学生独立用喜欢的图形表示题目中的各个“数”，尝试解题。一部分学生采用画线段图的方式表达题目（如图1），一部分学生采用了画长方形的方式（如图2）。教师让学生结合所画图形解释计算的过程、道理及其结果，即先画出一条线段（或一个长方形）表示1公顷，将它平均分成2份，其中的1份即是每小时耕的公顷，然后将表示这个公顷的图形平均分成3份，表示出其中的2份，这就得到了等于公顷，也就是公顷。在这个探究过程中，学生感受了数形结合的价值，体验到运用数形结合思想解决问题的愉悦感。

图1

图2

图3

第二环节：体会“图形”的适切性。教师改动例题数据：“另一台拖拉机每小时耕地公顷小时耕地多少公顷？”继续让学生用自己喜欢的图形来表示题意并求出结果。此时仍有一些学生尝试画线段图来思考，但是感觉很麻烦，不能直观地表达出“公顷的是多少公顷”。而画长方形图的学生，则能够像解决上一题那样很自然顺畅地画出图形（如图3），并作算理推导。进而，教师启发学生对两种图进行比较和选择，学生体会到针对这个具体问题，采用面积图更容易表达。这个教学过程让学生初步积累了由数到形转译时要注意选取合适图形的学习经验，有利于学生今后运用数形结合思想方法解决问题。

2.提高学生对“形”的特征感知和数式表述等直观推理能力

“以形助数”包含两个方面，一是由数及形作直观构造，二是由形对数作分析推理。教师要指导学生敏锐、准确地把握图形的整体特征，开展后续的比较、分析和想象等直观推理活动，以洞察数学对象的结构与关系，并由“形”还原到“数”，获取解决问题的基本思路。

如这样一道题：“一批钢材，用小卡车装载要45 辆，用大卡车装载要36 辆。已知每辆大卡车比每辆小卡车多装4吨，这批钢材有多少吨？”这个问题中条件比较少，学生解答存在一定困难，教师可以启发学生用数形结合思想来尝试解决问题。学生受到以往用长方形面积来表征乘法问题的启发，在教师的指导下画出了直观图（如图4，为了文中表述需要，交叉点标上了字母）。图中，AG表示小卡车每辆装载吨数、AE表示小卡车45 辆，AD 表示大卡车每辆装载吨数，AB 表示大卡车36辆，则GD 表示大卡车比小卡车每辆多装4 吨，BE表示小卡车比大卡车多9 辆，长方形ABCD 和AEFG的面积都表示这批钢材的吨数。

图4

学生接下来就需要寻找图形中各部分组成结构与面积的关系。学生发现小长方形BEFH 与小长方形GHCD面积是相同的（因为两者分别加上长方形ABHG，都表示这批钢材的吨数），学生根据已知的GD 边和DC 边的长度得出两个小长方形的面积为4×36＝144（吨）；再根据BE 是9，可以求出边AG=EF为144÷9＝16（吨），这就是小车每辆装载的吨数；最后可以算出这批钢材的吨数是16×45＝720（吨）。

上述解题过程很好地体现了数形结合思想，使原先比较复杂的数量关系变得直观，当然推理也很关键，需要学生依靠“图感”去发现和分析。因此，渗透和培养数形结合思想时，教师不仅要关注学生的构图能力，还应结合各种具体的实际问题培养学生的“用图”能力。

（三）迁移应用期：在迁移和构造中提升数形结合思想的运用能力

随着学生对运用数形结合思想解决问题优越性的体会不断加深，经验不断丰富，他们将从听教师指令尝试运用数形结合思想方法，逐渐走向在自我意识支配下主动运用数形结合思想方法。在遇到一些比较复杂的数学问题时，学生能够有意识地进行数形互译，作出直观分析推理，寻求巧妙的解题方法。当然，数形结合思想的主动运用往往需要由一些比较复杂的、用常规思路较难解决的数学问题来引发，因而在这个阶段，教师要有意识地提供给学生一些能利用数形结合思想解决的典型题，让学生结合以往解决问题的经验，创造性地以形助数或以数解形，从“被动用”走向“主动用、创造用”。

图5

小学阶段运用数形结合思想方法解题时，“以形助数”居多，“以数解形”较少。教师教学时应以渗透、启发为主，让学生领会数形结合解题的一般方法，为他们今后深入运用数形结合思想方法奠定基础。