指向整体建构的小学数学度量教学

□ 王智明

度量是小学数学中的重要内容。绝大多数国家都把度量作为小学数学课程发展的一条主线，如美国数学标准的制定，就是以数与运算、代数、几何、度量、数据处理与概率贯穿小学到高中。实际教学中，教师常常对度量的重要性认识不足，仅把度量视作图形与几何或数与代数的一部分教学内容，影响了度量教学中数学思想的形成与发展，同时更忽略了其作为数学课程一条主线的作用。

度量在日常教学中存在诸多问题。首先，内容上教材虽强调了整体内容的连续性与系统性，但学生学习时间跨度大，导致遗忘率较高。其次，教学过程忽略学生对度量对象的深层感悟和体验，较少体现深层感悟的创造性。再者，忽略儿童的经验，儿童的数学学习本质上是在已有经验基础上深度和广度的变化，而度量的教学内容本身与儿童的经验息息相关，需要重视儿童在原有经验基础上的自我构建，不断丰富，通过类比形成新经验。为此，对小学数学中的度量教学进行了相关研究，以期从统整角度对单元内容进行整合，促进数学的深度学习。

一、度量与测量

谈到度量，难免会提及与之相近的“测量”一词，在此先对两者做一辨析。

张奠宙先生说过，“数学测量的本质是给每一个测量对象以合适的数”，广义上的测量很多，可以是用一定数值方式来度量；可以是用等级程度来表示；还可以是用一定方法测量概率的值，这些都可以看作测量。而小学数学中的测量是一种狭义的理解，指借助于我们熟悉的常见工具（直尺、量角器等），测量的量多限于长度、角度、面积、体积等，测量对象都是物体的可测属性的量。

数学中的度量是指用一个带单位的数值来描述可测量物体或现象的某一属性，从而形成某个具有特殊含义的“量”，如长度、面积、容积、体积、角度、重量（质量）、方位、温度、时间、货币等。随着数学方法在日常生活中的广泛应用，越来越多的物体和现象都有了可度量的属性。除此之外，因为度量有数值及单位，所以它与数学学科内部的数、形以及数量关系都有广泛的联系。例如，儿童可以从一匹马、二只鸡、三把椅子这些带单位的量认识数，同时还可以借助单位沟通数与数之间的联系。因此，度量相比测量更上位，包容性更广。

二、度量教学中的整体思想

苏霍姆林斯基曾说过，“只有当一个人看见树林是一个统一整体时，他才能对每一棵树形成较完整的表象”，可见整体让思考更全面，延展更丰富。度量的教学贯穿了整个小学数学的学习，其过程适合整体教学，主要体现在以下几方面。

（一）以“单位”为内容上的共性

度量内容可以因人而异，但度量单位的确立是为了便于对度量进行统一化的表达和无歧义的交流，因此单位是不同度量内容所共同拥有的数学本质特征。例如，长度的度量是找到一个长度单位一个个量，拼合为所要量的线段，体现了给每一条线段找一个合适数的本质。同样的过程还可以在面积、体积、质量、时间及数量的度量中看到，过程上都体现了以单位为个数的累加。同时进一步认识“量的大小就是单位的个数”“单位不同，其个数也不同”这些度量的实质。

有了度量对象，需要构建、选择度量单位，获得度量值，这种以度量单位确定并获得度量值的过程可视作量感的培养。量感的培养不仅体现在几何量、常见量的获得中，它还分散在数的认识、数的运算中。例如，小数的意义教学中，常常借助元、米等单位认识小数与分数的关系，但这是一种仅从数的角度单一认识小数的方式，无法沟通数学知识的彼此联系，整体建构小数的意义。以等式为例，除了可以认识到小数与分数的转化，还可以从度量单位的角度认识到0.3 是用0.1 一个一个累加而来，3 个0.1 的累加就有了0.3。一个小的量去度量一个大的量，需要经历单位的累加过程，这样一种认数的过程与古人早期打孔计数类似。同时从这样的角度理解数的运算，加法、乘法可以体现为计数单位的累加，减法、除法可以体现为单位的细化。从单位的细化和累加的角度沟通数的认识、数的运算与度量之间的关系，更好地体现了“度量是课程的主线”这一理念。

（二）以“定性到定量”为思想上的共性

不同的度量内容都经历了相同的数学活动，体现了这样一个思想：我们对可度量物体属性的研究经历了从简单粗略的定性描述（多少、长短等）过渡到严格精确的定量刻画。

首先，最初经历粗略的测量活动可以是课堂上个体的简单直观的比较，也可以是同伴之间直接或间接的比较，其中的度量过程是粗略的。由于比较工具不同、比较过程不同会产生不同程度的偏差，此时用数学方法处理度量问题的基础凸显为需要构建或者选择标准度量单位。其次，个体的单位不能满足度量统一的需要，单位的统一、精确成为追求的目标。“结果为什么会不一样？”“看来我们有必要统一度量工具”。学生手中使用的度量工具，经历从多元到统一的过程，并通过操作体验、反思交流认识到度量的实质。同时，从不同的度量需求来看，当一种单位无法满足精确性要求时，为了更准确地进行测量，就需要进一步细分单位，度量单位越精细越能真实地表达客观实际，例如人们构造的复合距离单位“光秒”。

三、整体建构下的度量教学策略

《义务教育数学课程标准（2011 年版）》在实施建议中对数学知识整体化教学提出了相应建议，“注重知识的生长点和延伸点”，把知识“置于整体知识体系中”“引导学生感受数学的整体性”。从度量内容的分析可知，度量教学应遵循重视学生已有经验，整体考虑、长程设计度量的基本概念。单位是度量的本质，因此需要以单位为主线，建立度量相关内容的横纵联系。同时在教学中需要渗透数学思想，以深刻达成简约。

（一）重视已有经验，整体考虑，长程设计

儿童对度量的感知，以及后期能对度量单位产生广泛的共识，建立在人的两个先天本能上，即对数量的多少和对距离远近的感知。儿童对于常见的长度、面积、体积等概念是有经验可循的，但由于年龄和认知水平的限制，这些内容被分散、割裂在不同年级教材中。教师需要整体把握教材，关注教材单元内容的前后联系。同时，度量对象及单位的建构是一种整体性的建构活动，要基于儿童的相关经验，关联后续知识的学习。教学时对一些知识点提前渗透，或找到知识的原初关联，对内容从知识的大单元进行长程设计，有助于促进度量学习的进阶和度量意识水平的提升。

例如某教材在一年级的“比较”中，设计了比较长短的内容（如图1），实际上已经渗透了长度的概念。学生面对这样的问题可以凭借经验直觉判断，也可以从格子数量上进行比较，这其实就是让学生提前感受长度的概念。这里的问题也可以看作选取正方形格子的边长为单位度量长度，为后期建立长度单位提供相关经验。

图1

又如，杭州市学军小学的教师团队进行关于长度单位学习项目的整合学习，课堂上布置了自行设计尺子的活动，要求学生用乐高积木、黄豆、回形针等材料做一把能够测量作业本宽度的尺子。学生在创作的过程中经历对单位的感知，在群体的讨论中改良，在与实际的尺子比较的过程中经历从不同中抽象概括相同的特征等，从而让学生对长度单位的学习（单位的形成、单位的累加、单位的细分）自然而然获得，实现对度量知识学习的完整体验。

（二）以单位为主线，建立内容的横纵联系

数学知识不是孤立的“点”，而是围绕基本命题及统一的概念体系被组织、被建构的，是相互联系的“整体”。数学知识之间具有较强的关联性，教学设计要遵循知识之间内在的结构关系进行整体设计。横向的知识联系是指结构类似的不同单元内容之间的联结关系，由多个结构类似的知识块构成。如从长度单位到面积单位再到体积单位，都具有相同的逻辑结构和知识体系。这样一类度量知识的教学设计，需要注意其中蕴含的相同思维方式，它们都以对单位的认识作为主线。在此基础上进行整体设计可以打破“点状”教学模式，把具有同类特征的内容整合成“块状”知识，凸显背后共通的思维方式。

例如，把长度单位和面积单位的学习整体设计，可以在上好起始课，学生对原初的“比较物”内涵臻于丰富时，仿效长度单位的获得推及面积单位，使后续生长课更简约。教学中学生可以在自学感知何谓面积，体验通过“目测”即可比较面积大小之后，进一步深化对面积的认识，通过活动操作增强对单位的体验，进一步认识“面积的大小就是单位的个数”“单位不同，其个数也不同”这些度量的本质。

纵向的知识联系是指不同知识在其发生或发展过程中有相似或者有内在结构相同的联系，可以形成双向链状结构。对教材内容而言，可以围绕大观念、核心知识等对不同年级的单元知识进行统整，将不同领域的知识联系起来整体设计，这样有助于学生从上、下位联系（纵向联系）中，逐渐感悟知识之间的逻辑联系。例如在《小数除法》一课中，吴正宪老师以97 元买4 本《格林童话》提出小数除法的问题情境，学生在问题解决过程中被97÷4 所余下的1卡住：余下的1元到底该怎么分，每人到底要付多少钱呢？学生利用原有的元角分的生活经验，以及平均分的除法知识累积，很自然地把1÷4转换为1元怎么分，他们想把1元分成10角，还想用竖式表达。在尝试竖式表达的过程中，可以看到学生借助元、角、分理解算理，通过转化的办法把小数除法转化为整数除法的经历。原先的除法算式被赋予了问题情境，抽象的除法问题有了实际模拟单位的情境后，数运算中的算理与单位之间的沟通，帮助学生更好地理解了小数除法。其实质也就是把“1”细分成“10 个 0.1”“2 个 0.2”细化成“20 个 0.02”等。

正如前文提及的，“单位”是内容上的共性，小数除法的学习从单位的角度看，理解算理的形成过程就是不断细化单位的过程。站在更高的单位角度看“小数的认识”可以发现，沟通度量与数的认识的是单位，而联通小数除法算理的依然是单位，借助于单位的细分，可以更好地理解小数除法是整数除法的自然延续，小数点是基于等式性质的特殊标记，是运算的结果。

（三）渗透数学思想，以整合达成简约

数学教学中有意识地渗透数学思想，可加深学生对数学知识本质的理解，看到数学思维整合的力量。度量的学习中，学生经历从简单粗略的定性描述到严格精确的定量刻画，是一种数学化的过程，在这一过程中要注意将学生已有的零散、粗略的知识梳理形成精确、系统的知识。

关注纵横联系的整体教学，不是同一水平上简单的重复，而是要努力做到用思想上的整合替代内容上的简单重复，让学生感受数学抽象思想的力量，让学生经历运用数学推理达到思维创造。

以许卫兵老师的《千米的认识》一课为例：千米是继分米、米之后学习的第五个长度单位，许老师在课堂上没有简单重复前面的学习过程，而是让学生在自主整理已经学过的四个长度单位的基础上，尝试创造第五个长度单位。许老师提问：“你觉得这个长度单位会在什么位置，它和我们已经学过的长度单位之间是什么关系？”以简约而深刻的设计引领学生带着问题展开探究学习。学生通过大胆猜测，呈现了多种发明结果。有比毫米小的，有比米大的，许老师将大家“发明”的长度单位进行排队，使之结构化、整体化（如图2）。通过图表的展示，学生体会到单位有强大的规律和魅力，加深了对数学整体性和结构性的认识，从思想方法上感受到数学的逻辑性和严谨性。教学中学生在之前长度单位学习的基础上经历了推理、创造，以理解的深刻达成数学符号化语言的简约。

图2

度量是一种意识，度量是一种思想，教学中要关注整体，长程设计，以统整的观念进行单元内容上的整合，同时关注学生在学习过程中对数学思想的感悟，这样的教学才能让学习真发生，让学生有真实的收获。