感悟量率关系 深刻认识分率——由学生的一道习题错误引发的思考与实践

□ 刘兆伟

【案例呈现】

听一位教师执教“分数的初步认识（二）”单元中的《认识一个整体的几分之一》（苏教版三年级下册）一课，教师呈现教材中的一道习题：用分数表示涂色部分（如图1），请学生解答。课后，笔者对全班54 名学生的解答情况做了统计，有26 人填写了正确答案有 19 人填写了还有9 人填写了（根据以往的教学观察也发现，较多学生在做这题时出现上述错误）。学生的错误表明，他们对表示部分与整体之间关系的分数并未形成清晰的认识。

图1

那么，为什么会有这么多的学生出现这样的问题呢？不妨回看这位教师的教学过程。

师（出示情境图，如图2）：每只小猴分得这盘桃的几分之几？

图2

师：你是怎么想的？

师（揭去方巾，如图3）：现在每只小猴分得这盘桃的几分之几呢？

图3

师：到底哪种说法正确呢？请说说你的想法。

生4：我认为生2的说法正确，因为每只小猴分得6个桃中的3个，所以每只小猴分得这盘桃的

生5：我觉得生3的说法正确，因为这6个桃还是一盘桃，平均分给2 只小猴，每只小猴分得的还是这盘桃的

师：对！当我们把这6 个桃看成一个整体，平均分成2份，每份就是这个整体的如果盘里有4个桃、8个桃，你会表示这盘桃的吗？

教师请学生在练习纸上独立解决、集体展示并讲评（过程略）。

师：比较一下，盘里桃的总个数不一样，每份桃的个数也不一样，为什么都能用表示？

生：因为都是把这盘桃平均分成2 份，每只小猴都分得其中的1份，所以都能用表示。

师：是啊！不管盘里有多少个桃，只要把它们看成一个整体，平均分成2 份，每份就是这个整体的

随后，教师在教材例2 及“试一试”的教学中，多次要求学生按照上述句式规范地表述一个整体的几分之一。

【案例分析】

上述教学过程看似清晰，教师反复强调了部分与整体的关系。但为什么很多学生在独立练习时，仍会受到具体数量的干扰而出现问题？可以从教材的编排、学生的已有认知水平以及教师的教学行为等方面进行分析。

（一）量率关系未厘清

一、二年级时，学生认识的数都是表示具体数量的自然数。三年级上学期，他们在学习“分数的初步认识（一）”时初次接触到表示部分与整体之间关系的分数。教材设计例题“把一个蛋糕平均分给两个小朋友，每人分得多少”引入分数，但“半个也就是二分之一个”与“把一个蛋糕平均分成2份，每份是它的二分之一”中的两个是不完全一样的，前一个表示的是具体数量，后一个表示的是部分与整体之间的关系。

由表示部分数量的分数过渡到表示部分与整体之间关系的分数，教材例题这样设计在逻辑上没有问题，但例题情境中在分苹果和矿泉水这两个物品时，每人分得的结果都是具体数量，学生自然认为分蛋糕得到的结果也是具体数量，所以有不少学生对的认识并没有实现由量到率的转换。由于在一个物体或一个图形的几分之几中，表示部分数量的分数与表示部分与整体之间关系的分数在形式上是一致的，所以即使学生对分数的认识停留在表示部分数量的数上，在作业中也表现不出问题。而到了本节课，表示一份数量的数与表示部分与整体之间关系的分数在形式上不一致了，学生未能厘清量率之间的关系，在独立练习时问题便暴露出来了。

（二）回避数量何其难

量是具体的、可见的，率是抽象的、隐蔽的。量反映物体的多少，率反映不同量之间的倍比关系，量和率既有区别又紧密地联系在一起。上述教学中，教师认识到一份中的具体数量会给学生认识“一个整体的几分之一”带来干扰，所以巧妙地设计了从“遮”到“揭”的教学过程，想要避免这种干扰，并且在后面的教学中，多次强化规范表达，以加深学生对表示部分与整体之间关系的分数的认识，类似这样的教学设计经常见到。按照这样的设计进行教学，部分学生在揭开方巾后，能够把6 个桃看作一个整体，其他学生通过多次强化后，也能按照规范表述一个整体的几分之一。但到了独立练习时，仍然有不少学生因为受到一份中具体数量的干扰而出现问题。可见，在认识表示部分与整体之间关系的分数时，想要回避具体数量十分困难。

小学三年级学生对于表示具体数量的数是熟悉的，但对于表示部分与整体之间关系的分数还是相对陌生的。如果教师直接将分率硬塞给学生，学生只能被动地记忆与模仿，不能对分率产生深刻的感悟与理解。因此，应引领学生从具体数量走向分率，并通过比较认识到具体数量与分率之间的区别与联系，从而将分率纳入到已有认知结构中，这样学生才能对分率产生深刻的理解。

【教学重构】

根据以上分析，对例1的教学进行了重构，并由同一位教师在另一个班重新执教此课。过程如下。

师出示情境图（如图4），请学生回答。

图4

生：要解决这个问题，还缺少条件。

师：你想补充什么条件来解决这个问题呢？

生：如果盘里有2个桃，每只小猴分得1个桃。

生：如果盘里有4个桃，每只小猴分得2个桃。

生：如果盘里有6个桃，每只小猴分得3个桃。

……

师：刚才大家补充的条件中，桃的个数都是双数，如果盘里桃的个数是单数，该怎么回答呢？

生：如果盘里有1个桃，每只小猴分得半个桃。

生：如果盘里有3个桃，每只小猴分得1个半桃。

生：如果盘里有5个桃，每只小猴分得2个半桃。

……

师：刚才大家通过补充条件，解决了这个问题。因为盘里桃的个数不知道，所以这个问题有很多种回答。如果不补充条件，能回答这个问题吗？（较长时间等待）

生：不能，因为如果不告诉我们盘里桃的个数，我们没有办法知道每只小猴分得多少。

图5

生（疑惑）：能这样回答吗？

生：哦，我明白了！可以这样回答。

师：你来说说看。

生：我们可以结合刚才的图来看，如果盘里有1个桃，每只小猴分得的就是这盘桃的这是我们上学期学过的。

师：如果盘里有2个桃呢？

生：如果盘里有2个桃，每只小猴分得1个桃，1个桃是2 个桃的一半，也就是这盘桃的一半，所以每只小猴分得的还是这盘桃的

师：如果盘里有3个桃呢？

……

生：哦，确实可以这样回答。

生：不管盘里有多少个桃，只要平均分成2份，每份都是这盘桃的

生：一开始，我们想知道每只小猴分得多少个桃，但因为盘里桃的个数不知道，所以有很多种不同的回答，答案是不确定的。但不管哪种回答，每只小猴分得的桃的个数与这盘桃的个数的关系是不变的，都是这盘桃的这样回答，答案就是确定的。

生：这样回答概括了我们前面所有的回答。

……

随后，教师按照先前的教学设计教学后面的内容。学生独立练习时，笔者再次对上述图1 中学生的作业情况进行了统计，全班53 名学生，有49 人填写了正确答案有2人填写了，还有2人填写了。与重构前相比，学生做这道题的正确率高出了很多。

【案例反思】

上述案例中，执教者没有发生变化，整节课的教学流程也没有发生变化，仅仅是改编了例题中的问题，为什么教学效果却有如此大的变化呢？

（一）问题设计由封闭走向开放

教材例题中的问题是封闭的，只能用表示部分与整体之间关系的分数来回答。由于小学三年级学生的思维方式以形象思维为主，他们在回答这个问题时必然会受到具体数量的干扰，此时教师会千方百计地将学生牵引到正确答案上来，导致学生只能被动地接受陌生的知识。而重构后的问题是开放的，既可以用具体数量来回答，又可以用表示部分与整体之间关系的分数来回答。这样的问题符合学生的思维特征，学生在面对这个问题时，从最初用具体数量回答逐步过渡到用表示关系的分数回答。开放性的问题不仅激活了学生的已有经验，而且给了学生认识具体数量与分率之间联系的机会。

（二）知识教学由孤立走向联系

对于易混的、相互干扰的知识，如果教师只是孤立地进行教学，学生往往无法深刻理解知识的内涵，容易产生认知障碍。但如果教师能让学生认识到易混知识之间的区别与联系，学生反而能够将它们区分开来，加深对这些知识的理解。重构前的教学，侧重于让学生认识表示部分与整体之间关系的分数，所以在学生受到具体数量干扰时，教师都是通过规范表达来让学生硬性接受。重构后的教学，侧重于让学生在感悟量率之间关系的基础上，认识并理解表示部分与整体之间关系的分数。从学生的回答“每只小猴分得的桃的个数与这盘桃的个数的关系是不变的”“这样回答概括了我们前面所有的回答”可以看出，他们已经充分感悟到了量率之间的联系，对表示关系的分数已经理解得比较深刻了。虽然重构后在例1的教学上时间多花了一些，但由于学生对分率的理解比较深刻，后面的学习就进行得十分顺利，不需要教师多次强化规范表达，所以总的教学时间并没有增加，教学效果却比重构前好很多。

数学中有很多易混的、相互关联的知识，在教学这些知识时，孤立地进行教学不是最好的办法。教师需要正视易混知识之间的差别与联系，引导学生深入认识这些知识各自的本质以及它们之间的联系，使学生对这些知识形成准确的、清晰的、深刻的认识。