基于计算机的数学评价：PISA2021数学素养测评的启示

□ 张侨平 陈慕丹

一、背景

经济合作与发展组织（OECD：Organization for Economic Cooperation and Development）在 1997 年发起国际学生评价项目（Programme for International Student Assessment，以下简称PISA），旨在通过一种国际公认的衡量标准，测量世界范围内15 岁学生（大约是我国初中毕业年级）的阅读、科学和数学三个学习领域的素养，自2000 年起PISA 每三年测试一次，每次聚焦三个领域中的一个主题。目前，PISA 已逐渐发展成为最具国际影响力的大型教学评价项目之一。我国首次正式参加的是PISA2009，到目前为止已经参与了四次测试，在三个领域的成绩均表现优异。最新的PISA2021 将聚焦数学学科（因疫情关系推迟到2022 年开展），主要采用基于计算机的数学评价模式（Computer-Based Assessment of Mathematics，以下简称 CBAM）测量学生已有的数学知识以及学生在不同情境下运用数学推理和问题解决的能力。2020年在新冠疫情的影响下，大规模的线上教学给习惯于传统面授教学的教师带来压力和挑战。如何在线上教学或在今后线上线下混合教学的新常态中，培养和评估学生的数学素养已经成为目前国内外教育研究者和一线教师关注的焦点。本文在解读PISA 2021数学框架的基础上，从数学推理和问题解决过程、数学内容知识、情境三个方面结合具体的CBAM试题进行分析，阐释其背后的设计思路和意图，以期为我国当前培养学生的数学核心素养和进行相关测试题的编制提供启示。

二、PISA2021数学框架

PISA2021 数学框架将数学素养定义为个人进行数学推理的能力，以及通过公式表示、应用和解释数学，从而解决一系列现实环境中问题的能力。它包含掌握数学中的概念、程序、事实，以及运用工具去描述、解释和预测现实世界中的一些现象。它有助于个人作为具有建设性、参与性和反思性的21 世纪的公民，了解数学在世界上所发挥的作用并做出有充分根据的判断和决定。该框架将数学推理和三种问题解决的过程（即形成、应用、诠释和评价）视为数学素养的核心，更加突出数学推理在问题解决和数学素养中的核心地位，并将数学内容划分为数量、不确定性和数据、变化和关系以及空间和形状四个领域。同以往框架相一致，将现实情境进一步解释为包括个人、职业、社会和科学在内的四种情境。另外，PISA2021 将八项21 世纪技能融合到数学素养评估框架中，具体包括批判性思维，创造力，研究与探究，自我导向、主动和坚毅，信息使用，系统思维，交流，反思（见图1），并指出在试题的编制中会渗透21世纪技能的相关内容。为进一步了解PISA2021 数学框架，将从数学推理和问题解决过程、数学内容知识、情境三个方面对框架进行阐释。

图1 PISA2021数学素养评价框架

（一）数学推理和问题解决过程

推理是数学的基础，教学生学会逻辑推理是学校数学课程的重要目标之一。学生只有具备良好的数学推理能力，才能真正领悟数学的真谛。PISA2021数学框架提出可以从以下六个方面培养学生的数学推理能力：（1）理解数量、数系和代数性质；（2）欣赏抽象性和符号表征，让学生理解从特殊到一般的推理过程；（3）掌握数学结构和规律，让学生学会类比；（4）认识数量之间的函数关系，让学生了解变量间的相互关系；（5）应用数学模型，鼓励学生学会对问题进行化简，发现问题的核心要素；（6）理解变化是统计的核心，鼓励学生用数据说话，并意识到结论的局限性。

数学推理充分体现了PISA2021所定义的数学素养的内涵，而数学问题是数学的心脏，学生的数学推理能力正是透过数学问题解决来实现。PISA2021 数学框架将问题解决划分为三个数学过程，首先是将实际问题转化为数学问题，其次是应用数学概念、法则和原理得出结论，最后对所得数学结果进行诠释、应用和评价。

数学推理和问题解决是PISA2021所界定的数学素养的组成部分，二者有相互重叠的部分，即问题解决的不同过程需要应用到数学推理；同时，数学推理不仅局限于现实世界的问题解决，还可以帮助学生从数量和逻辑的角度评估社会热点议题信息的有效性。

（二）数学内容知识

现实世界中进行数学推理和问题解决需要借助一定的数学知识。PISA2021大致沿用了以往框架对数学内容四个领域的划分（数量、不确定性和数据、变化和关系以及空间和形状），该划分反映数学的基本结构，涵盖数学的整体领域，也契合学校的课程主线。

数量是数学中最基本且最常见的概念，而量化是基于数量描述和测量事物属性的主要方法。在“数量”维度，数学素养主要体现在数感、数的多重表征、最优计算、心算、估计和评估结果的合理性等方面。

不确定性常常出现在对现实问题进行数学解析的过程中，概率和统计理论、数据表示和描述有助于分析和解决这一类问题。“不确定性和数据”维度的内容包括识别变量在现实世界中的重要性，对变化的事物和关系能够以量化的方法处理，认识相关推论中的不确定性和误差，形成、解释并评估在不确定性存在的情况下得出的结论。

现实世界的事物之间存在相互关系，而不同的关系中又存在变化，“变化和关系”维度的内容涉及用适当的函数和方程对“变化和关系”进行建模，用符号表征和图形表征建构、揭示和转化不同的关系。

在现实世界中，空间和形状随处可见，数学素养在“空间和形状”维度下体现为理解图形、创建和阅读地图、转换图形、解读三维场景以及构建形状表征。值得注意的是，PISA2021 特别强调上述四个数学内容类别下的四个主题：计算机模拟（数量）、条件决策（不确定性和数据）、增长现象（变化和关系）和几何近似（空间和形状）。

（三）问题情境

PISA2021 提出，学会用数学解决不同情境下的问题是数学素养的重要体现之一，现实情境包括个人、职业、社会和科学在内的四种情境。个人情境聚焦个人及其家庭或同伴的活动，涵盖食物准备、购物、游戏、健康、交通、娱乐、体育、旅行、日程安排和个人财务等情境。职业情境以工作领域为中心，涉及测量、成本计算和建筑材料订购、工资单/会计、质量监控、调度/库存、设计/架构以及与工作相关的决策等。社会情境更关注群体，包括投票制度、公共交通、政府、公共政策、人口统计、广告、国家统计和经济等方面。科学情境关注数学在自然世界中的应用以及与科学技术相关的问题和主题，包括天气或气候、生态学、医学、空间科学、遗传学、测量学等。

三、试题解析

从上述PISA2021 数学框架的分析可以看出，数学素养更关注数学知识在现实世界中的应用，衡量个人在运用公式表示、应用数学知识和诠释数学内涵以解决一系列现实环境中问题的能力。因此，基于数学素养的测评与以往传统测评专注于课程内容不同，它需要为学生创设合理的真实情境，让学生根据不同情境运用相应的数学知识进行数学推理和数学问题解决。

既然PISA2021数学素养测试题的设计以上述框架为基础，那么数学素养框架中的组成元素在试题中又是如何呈现的呢？下面将以PISA2021 数学框架中的试题“智能手机的使用（SMARTPHONE USE）”为例（图2～图6），围绕内容、过程、情境三个层面对试题进行分析。

图2 智能手机的使用简介

PISA2021 指出，在目前的职业生活中，使用计算机工具和数学素养具有相互依存的关系，基于计算机评价模式相较于纸笔测试更能满足现实生活和21世纪的需求。

作为PISA2021 主要评估工具，计算机的使用能够为数学素养测评提供一系列发展机会，例如向学生展示真实世界的数据，给予学生进行自适应测评（根据学生的回答和早期的学习单元分数为他们提供更多的个性化测试单元组合，从而获得学生详细的学习表现）的机会，使测评更符合现代世界发展的趋势，即从执行基本计算的需求转变为由新技术驱动发展的新世界，个体在其中具有创造力和参与度，可以对自己和所生活的社会做出判断和评估。

图2到图6展示了例题“智能手机的使用”的计算机测试界面截图（其中Zed是虚构的国家Zedland的货币单位）。PISA 将题目和问题数据以及图表分别设置在屏幕的左右两侧以方便学生阅读，不仅从视觉上吸引学生，还有助于学生理解题意。另外，基于计算机的测试可以为学生提供图像及不同表征之间的链接，方便学生依据已有的变量估计未知的变量来解决问题。例如，在第二小题中（图4），考生可以使用电子表格上方的按钮对数据进行排序，以辅助答题。

值得注意的是，在例题中，所有计算机工具的使用都是为了满足培养学生数学素养的需求，这使得计算机评估对于不熟悉使用计算机工具的学生来说也是友好的，不会影响他们解决数学问题。这是PISA测试利用计算机对学生进行有效评估的重要前提。

图3 智能手机的使用问题1

图4 智能手机的使用问题2

除此之外，本文分析的PISA2021例题“智能手机的使用”基于“社会”情境，关注不同国家人口数量及智能手机使用的问题，涉及“数量”和“变化和关系”两个内容知识领域。

第一小题（图3）考查学生对比例概念的掌握程度，要求学生选出使用智能手机的人数比例的表达式；第二小题（图4）考查学生获取图表信息的能力，要求学生对人口数量和使用智能手机人数之间、人口数量和使用智能手机的人数比例之间的关系作初步判断;第三小题（图5 和图6）将人口数量、使用智能手机的人数比例和最低时薪视为变量，考查学生在研究变量间非线性函数关系过程中的数学推理能力，要求学生通过图像提取信息，判断变量间的相互关系并解释原因。三个问题的难度和开放度逐渐递增，前面的问题设置为学生解决后面的问题提供辅助，这也印证了“数量”与“变化和关系”维度的结合，同时凸显了数量在数学中的基础地位。

图5 智能手机的使用问题3-1

图6 智能手机的使用问题3-2

四、启示

PISA2021数学框架在以往的PISA数学框架的基础上，强调培养学生在问题解决过程中的数学推理能力，利用计算机工具让学生体会数学问题中数据的变化以及理解变量之间的相互关系，进而从特殊到一般，迁移之前的学习经验知识去解决其他问题。同时，PISA2021 充分利用计算机学习工具的优势，在数学题目中融合了视觉丰富的图标等真实性情景信息，加强数学题目的真实性和趣味性，在吸引学生注意力的同时，提高学生在数学学习中的参与度，也达到培养学生数学素养的目的。除此之外，CBAM题目难度的设计规划对于学生解题的引导作用也值得注意，比如，例题中的问题从易到难，问题的开放性逐渐增加，逐步引导学生运用推理进行解题，并在最后一小题中要求学生进行原因解释，进而可以更准确地评估学生的学习表现。最后，要设计基于计算机评价的数学题目，关键要确保这些题目能持续地评价学生的数学素养，因此，设计者需要将无关的干扰因素维持在最低水平，例如让学生避免受到与数学素养无关的因素（比如题目表达格式）的干扰，以此来保证学生用计算机进行测评和学习的过程能顺利进行。PISA2021在试题编制中渗透了21 世纪技能的相关内容，这些技能与我国当前发展学生核心素养的目标是一致的。因此，对PISA2021试题的分析，能对培养学生的数学核心素养以及进行相关评价有所借鉴和启示。