设计变式练习，促进不同思维层次学生的发展——过程性变式设计理念下练习课教学新探索

□ 沈 强

SOLO分类评价理论是香港大学教育心理学教授彼格斯（J.B.Biggs）首创的一种学生学业评价方法，它是以等级描述为特征的质性评价方法。根据学生理解能力由低到高分成五个层次：前结构水平、单点结构水平、多点结构水平、关联结构水平和抽象扩展结构水平。所谓过程性变式，是指创建变式问题或情境，让学生进行探究，找到解决问题的方法，让学生逐步或从多种途径建立不同概念之间的联系。本文结合“圆柱和圆锥”中的一道试题，对学生的解答情况根据理解水平进行分类和分层，针对不同水平层次的学生设计不同的变式练习，以提高练习课的有效性，促使在不同思维水平层次上的学生得到不同程度的发展。

一、原题呈现、测试背景、测评点分析

1.原题呈现。

2.试题背景。

此题是2020年7月嘉兴市小学数学毕业试卷上“解决问题”中的试题。

3.测评点分析。

知识点：考查圆柱表面积和圆环面积的相关知识及其运用。

能力点：能先将复杂的几何图形分解成若干个部分，然后对子图形进行识别和计算，以便有效地解决原来的问题。

二、基于SOLO分类理论对学生的理解水平进行分层分析

（一）样本分析

在全区近3000份试卷中，随机抽取800份试卷做样本分析，并根据理解水平能力进行分类。以下是对不同水平层次学生的解答情况所做的分析。

1.前结构水平层次。能力“最低”。

处于前结构水平层次的学生的回答不存在逻辑上的联系，线索与回答混在一起，有三种情况：拒绝、同义反复、转换。此题中出现了两种情况：拒绝和转换。拒绝，指学生不想认真投入到思考中，最直接的现象是空白（如图1）。转换，与其说是猜测，不如说是瞎说瞎撞，学生试图找到一个相关的答案，但出错了，主要是未在逻辑基础上进行解答（如图2）。

图1

图2

2.单点结构水平层次。能力“低”。

处于单点结构水平层次的学生只抓住了闪现在心目中的头一个素材（但至少是一个相关素材），就直接跳到结论上去，因此结论非常不一致。有的学生只算对了侧面积，其余部分都是错误的（如图3），有的只算对了圆的面积（如图4）。类似的解答，离正确结果相差较远。

图3

图4

3.多点结构水平层次。能力“中”。

处于多点结构水平层次的学生往往会找到许多相关点。但由于各点之间没有相互联系，或者在某一个点上出现了问题，导致用同样的素材得出不同的结论。处于多点结构水平层次的学生的解题思路完全正确，但由于某个公式运用错误，导致离正确结论只有一步之遥。公式运用错误主要有两种情况：一是将圆环面积公式记忆成“大圆的直径×直径×π－小圆的直径×直径×π”（如图5）；二是将圆柱的侧面积记忆成“底面积×高”，侧面积与体积公式混淆（如图6）。

图5

图6

4.关联结构水平层次。能力“高”。

处于关联结构水平层次的学生，在设定的情境或经历的经验范围内，能利用相关知识进行概括，没有不一致的问题。学生会在看到事物的所有方面后，将其连贯成一个整体，再做出关联性解答。此层次中，学生利用圆柱表面积和圆环面积的相关知识进行正确解答，解答思路是将复杂的组合图形面积分解成三部分“小圆的面积+圆柱的侧面积+圆环的面积”，分别计算后再相加（如图7）。

图7

5.抽象扩展结构水平层次。能力最“高”。

处于抽象扩展结构水平层次的学生的回答超越了根据素材进行的归纳，进行了真正的合乎逻辑的演绎。这一层次的学生，将帽子的顶部（小圆）和帽檐（圆环）相加后正好成为一个大圆，所以帽子面料的面积分解成两部分：大圆的面积和圆柱侧面的面积，分别计算两部分后再相加（如图8）。在推理的基础上计算更简便，思维水平层次更高。

图8

（二）测查结论

对学生的解答进行了归类和统计，各SOLO 层次的人数和占比如表1所示（抽取样本800份）。

表1

从本次测查结果来看，此题的得分率为69.6%，说明学生在解决这类复杂的几何图形时，理解能力比较薄弱。主要由以下三个方面造成：一是不能有效地将复杂的几何图形分解成若干个子图形，缺乏一个整体的解题思路；二是有了正确的解题思路后，因为涉及的面积公式较多，而且公式之间容易混淆，造成在计算部分子图形时出现错误；三是此题的计算量比较大，特别是计算过程和结果中没有保留π，计算量和复杂程度明显上升，造成严重的计算错误。

三、立足于学生不同层次的理解能力，实施针对性教学

所谓针对性教学，指根据学生不同的理解力，进行归类并分层，运用过程变式理念设计相应的练习题，实施针对性教学，以提高学生的理解水平层次。

1.处于前结构、单点结构水平层次的学生向多点结构水平层次提升。

处于前结构和单点结构水平层次的学生，对基本图形概念掌握不扎实，缺少学习活动经验，对于各种变式习题，缺乏鉴别能力。要提升到多点结构水平，可以从以下两个方面进行尝试：一是增加动手操作环节，拉长学生的过程性体验历程；二是提供辨别比较材料，提升思维鉴别能力。

（1）由静变动，增加动手操作环节，拉长学生的过程体验历程。

心理学家皮亚杰认为：“活动是认识的基础，智慧从动作开始。”在数学课堂中，学生通过自我探索、合作交流，体验数学事实，运用数学思想和方法，进而积累数学活动经验。

在表面积的练习中，更多的习题是静态的，只提供情境和数据，让学生运用公式进行计算。例如“制作一个无盖的水桶，底面半径为3 分米，高为5分米，需要多大的铁皮？”这样的习题对于学生巩固知识和技能有一定的帮助，但过多类似的练习，对于处于前结构和单点结构水平层次的学生来讲，在不理解和缺乏活动经验的基础上反复操练，更多的只是记忆性练习，思维水平很难在原水平基础上有所突破。将其通过变式改编成一道操作实践题，提供一张长25.12 厘米、宽18.84 厘米的长方形纸，让学生通过计算，在另一张白纸上利用圆规和剪刀剪出一个圆形纸片，与提供的这张纸一起组成一个无盖的圆柱形纸筒。学生首先需要考虑用长方形的哪条边作为底面的周长，其次运用公式计算出直径，再利用圆规画出圆形并剪下，粘贴成圆柱形纸筒。虽然这一操作会比单纯做一道习题花去更多的时间，但可以拉长学生的过程体验，通过积累一道题的活动经验来掌握解决一类题的技能与方法。

（2）由一变多，提供辨别比较材料，提升学生的思维鉴别能力。

有比较才有鉴别，比较是鉴别事物异同关系的一种思维方式。一道题经过不断的变式，会产生不同的情况，教师可以让学生采用对比的方法，将各种知识互相联系起来，在互相比较中揭露事物的本质，提升学生的理解能力。

如圆柱表面积的相关知识中，有些圆柱物体是求“侧面积+2个底面积”，有些是求“侧面积+1个底面积”，还有一些是只求“侧面积”。对于处于前结构和单点结构水平的学生来讲，能够正确区分几种情况是一个难点。教师先呈现一个圆柱形，然后对其进行变化，变成各种情境下求圆柱的表面积，让学生思考分别属于哪类情况，进行归类与整理（如图9），并对各类情况进行补充。通过由一变多的方式，学生进行了思辨，提升了鉴别能力。

图9

2.处于多点结构水平层次的学生向关联结构水平层次提升。

处于多点结构水平层次的学生往往在解题时没有画图或标数据，在选用公式和数据时出现错误，从而导致结论的不一致性，这说明学生在信息解读能力上有待提高。另外，计算造成的错误，使学生离正确结论只差一步。

（1）由简变繁，提高信息解读要求，发展学生的信息解读能力。

在几何教学中，面对复杂的条件和繁多的数据，如何正确解读信息？可以通过画图和标数据的方式，把题目的意思以直观形象的图示表示出来，让学生在解题过程中更容易运用公式、找到数据来解决问题。

很多习题只有文字没有图示，例如“一个圆柱形物体，底面直径4 分米，高6 分米，将它的侧面和上下底面用布粘贴起来，一共需要多少布料？”对于这类习题，学生需要养成画图和标数据的习惯。教师还可以通过增加信息条件，来发展学生的信息解读能力。如将此题改为：“一个圆柱形灯罩，底面直径4分米，高6分米，先将它的侧面和上下底面用布粘贴起来，然后在上下两个底面分别剪去一个半径为1.5分米的小圆，以便散热，做这样一个灯罩共需要多少布料？”经过变式后，信息量增加，解题难度上升，更能挑战学生的信息解读能力。边画图边标数据，这是对信息正确解读的有效方法。

图10

（2）由繁变简，简化学生计算过程，提高学生的计算能力。

在试卷分析的数据采集中，对处于多点结构、关联结构和抽象扩展结构水平层次的学生的计算进行了分类统计，结果如表2所示。

表2

从上表中可以看出，近75%的学生在计算过程中保留了π（如图11），还有25%的学生是直接乘3.14（如图12）。在批阅过程中，明显发现不保留π的计算过程烦琐，涂改的现象比较明显，正确率低。为了与初中学习接轨，建议计算过程和结果都保留π。

图11

图12

3.处于关联结构水平层次的学生向抽象扩展结构水平层次提升。

从关联结构水平层次向抽象扩展结构水平层次发展，需要教师对习题进行不断的变式，使习题具有更高的挑战性，发展学生的学习能力和创新精神。

（1）由正变斜，改变信息空间位置，丰富学生的图像建构过程。

在用纸围圆柱的侧面时，一般是用长方形或正方形纸来围的，教师可对其进行变式，用一个平行四边形纸片，改变传统的围法，让学生在一个未经历过的情境中来解决问题。呈现题意：“由一张高为6 厘米、面积为75.36 平方厘米的平行四边形商标纸片，正好粘贴在一个茶叶筒的侧面（无缝隙、无重叠），如果接口不计，做一个这样的茶叶筒共需要多少纸板（上下也有纸板）？”引导学生从条件出发，向问题靠近。已知平行四边形的面积和高，可以求出底，底的长度就是圆柱底面的周长，可以求出半径，再求底面的面积，最后求出表面积。也可以引导学生从问题出发，侧面积已知，只需求出底面积，底面的周长与平行四边形的底边相等，利用平行四边形面积公式求出底边。培养学生从不同的思考方向来解决问题。

图13

（2）由斜变正，利用图形之间关系，优化学生的解题思路框架。

解决问题时，学生在阅读理解的基础上，不要急于去解题，而是先思考有几种解决方案，再比较哪种解决方案更优化，方案的优化意味着解题更简便，正确率更高。

例如“一个粮仓（如图14），如果每立方米粮食的质量为750千克，这个粮仓最多能装多少千克粮食？（单位：米）”在计算粮仓的体积时，学生一般都是分别计算圆锥和圆柱的体积再相加。在利用常规解题思路之前，可以让学生先比较圆锥和圆柱之间的关系，发现两者的底面积是相等的，可将圆锥转化成等底面等体积的圆柱，变成底面积相等、高为0.2 米的圆柱，那么整个体积可以看成高为（1.5+0.2）米的圆柱，这种解题思路就如生活中看到的将尖尖的顶部抹平的现象。

图14