如何借助辅助线理解图形放大与缩小问题

□邓招徒

“图形的放大与缩小”是学生理解相似图形的基础。三角形和多边形的放大和缩小，常常让学生感到困难。在教学实践中，教师可以利用辅助线帮助学生更好地理解这个难点。

一、探寻三角形的放大与缩小

（一）呈现问题

在图1 上画出将三角形ABC按1∶2缩小后的图形。

图1

（二）引导交流

图2

学生可能找到AB和AC的中点D 和E，连接DE 后得到的三角形ADE 就是三角形ABC 按1∶2 缩 小 后 的 图形。（如图2）

学生可能会从对应高的比这一角度进行说明，也可能会从中位线的角度进行说明。

继续引导：如果按照这样的思路，只能有这一种画法吗？还可以怎么画？

学生可以通过找另外两组相邻边的中点解决问题（如图3）。

图3

3.缩小后的图形面积和原面积有什么关系？得到的三个三角形位置不一样，都符合要求吗？

引导学生发现，缩小后的图形与原图形面积的比都是1∶4。通过平移，将缩小后的三角形重叠，可以看到三个三角形的形状和大小其实都是一样的。

4.还有其他的方法吗？

呈现第4 种方法（如图4）：找到三条边的中点连接起来得到三角形DEF，三角形DEF 也是将三角形ABC按1∶2缩小后的图形。

讨论：这样画可以吗？引导学生发现三角形DEF和其他三个三角形的相等关系。

图4

（三）延伸拓展

根据刚才研究三角形缩小的过程，想一想：如果将三角形ABC按照2∶1放大，可能有几种不同的方法？

二、研究多边形的放大与缩小

（一）呈现问题

画出将五边形ABCDE 按2∶1 放大和按1∶2 缩小后的图形。

（二）引导交流

有了刚才的经验，学生比较容易发现将五边形放大最方便的方法是在以点C为顶点引出的四条射线上（如图5）找到CB、CA、CE 和CD2 倍长度的点和中点，顺次连接得到要求的图形。

图5

三、拓展延伸

（一）呈现问题

在原图（如图6）中分别画出将五边形按2:1放大和按1:2缩小后的图形。

图6

（二）引导交流

在学生尝试独立解决问题后，教师组织学生重点交流画辅助线的方法：从五边形的某一个顶点出发，连接不相邻的两个顶点，作两条辅助线，然后再找出中点（缩小）或延长1 倍（放大）画出图形（如图7）。

图7

通过这样的操作过程，学生明确了画放大与缩小图时，找对应边其实就是找到对应点，经历从立到破，又从破到立的过程。学生利用辅助线画出较为抽象的图形的同时，在知识迁移、多角度思考问题和空间想象能力等方面都得到了锻炼。