从相似到相通，感悟神奇——记“圆锥的体积”教学的重构

□ 包春进

多次听过“圆锥的体积”一课，教师一般是先出示或让学生准备一组等底等高的圆柱和圆锥学具，进而让学生估计圆锥的体积是和它等底等高的圆柱体积的几分之几，从而进行验证。教学的重点往往放在“验证”环节上，这样的安排感觉课堂上学生参与研究的状态是被动的，例如，是怎么联想到等底等高的圆柱的？学生研究圆锥体积的思维起点在哪里？学生利用了哪些以前的活动经验？……教者又该如何回答这些问题呢？基于这些思考，笔者对这一课进行了教学重构，教学片段如下。

一、从相似出发，助学生发现研究的路径

【片段1】

师：同学们，你们发现了没有，圆锥是一个很特别的立体图形，它的外形是一头细一头粗。平面图形中，有类似的图形吗？

生：三角形。

师：你有一双善于发现的眼睛，真棒！咦，当时，我们是怎样发现三角形的面积公式的？

生：是将两个一样的三角形拼成一个和它等底等高的平行四边形。

师：确实是的（出示图1），三角形的面积是这个和它等底等高的平行四边形面积的几分之几？

图1

师：看来，三角形的面积与和它等底等高的平行四边形的面积之间有着很重要的关系。依照这样的思路，你觉得圆锥的体积可能和什么有关系？

生：噢！我知道了，是圆柱。

三角形和圆锥在外形上有着类似的特征（即一头细一头粗），通过让学生主动去发现，从而摸索到研究圆锥体积的路径。这样的设计激发了学生的兴趣，十分切合学生的探究起点，学生的思路一下子被打开了，研究路径从模糊走向清晰。圆锥对于学生来说并不是一个孤立的研究对象，而是一个和圆柱有着隐约关系的图形，于是等底等高的圆柱也就不请自来了。

二、寻相通之处，让学生带着经验去探索

【片段2】

师：既然圆锥和圆柱可能有关系，那是不是随便找一个圆柱来研究就行了呢？你觉得用怎样的圆柱来帮助我们研究圆锥的体积比较好？

生：“等底等高“的圆柱。

师：厉害，给你点赞！

师（出示图2）：这个圆锥和这个圆柱的体积相等吗？

图2

生：很明显不相等。

师：你怎么知道的？

生：圆锥是一头细一头粗的，而圆柱的两头是一样粗，体积肯定不等。这就跟三角形的面积与和它等底等高的平行四边形面积不相等的道理是一样的。

师：说得真好，请同学们估计一下，这个圆锥的体积是和它等底等高的圆柱体积的几分之几？

师：估计的不一定是正确的，还要干什么？

生：验证。

师：怎样进行验证呢？

生：可以做个小实验，将圆锥里倒满水向圆柱里装，看几次能装满？

师：一定要用水吗？沙子行不行？

生：水只是个替代品，沙子也可以。

师：谁来操作一下，看看究竟几次能够倒满？

在学生重拾了研究三角形和平行四边形的活动经验后，教师抛出一些疑问：你觉得用怎样的圆柱来帮助我们研究圆锥的体积比较好？这个圆锥和这个圆柱的体积相等吗？估计一下这个圆锥的体积是和它等底等高的圆柱体积的几分之几？这些问题也就成了学生的“刚需”。因为有了活动经验的支撑，学生的探究变得更加从容和有底气。

三、感悟神奇，让学生收获成功喜悦

【片段3】

师：同学们，几次能够倒满？

生：3次。

师：现在，你知道圆锥的体积是和它等底等高的圆柱体积的几分之几吗？

师：在平面图形中，三角形的面积是和它等底等高平行四边形的在立体图形里，圆锥的体积是和它等底等高的圆柱体积的

生：我发现了一个神奇的现象：二维空间里的三角形和平行四边形的面积关系是而到了三维空间里，圆锥的体积和圆柱体积的关系就变成了正好对应，好神奇。

（其他同学情不自禁地鼓起掌来）

师：接下来请大家思考一下，圆锥的体积可以怎样求？

……

因为相似，所以学生便想到了等底等高的圆柱体，使得圆锥体积的研究不再是孤立的，而是有了一个好“帮手”，从而顺利地找到了研究的路径；因为相通，所以学生的研究不再是“赤手空拳”，而是怀揣指导研究的“锦囊”；因为神奇，所以学生感受到了数学的魅力。