四则运算之“序”的教学之“理”*

□ 徐宏臻

一、缘起

学校举办赛课活动，内容是苏教版四年级上册第七单元的“整数四则混合运算”例1（主题图如图1）。笔者发现，许多教师在引导学生分步列式的基础上，启发学生结合事理和数量关系列出综合算式12×3+15×4或 15×4+12×3，并确定先算什么，后算什么，最后算什么。许多教师教完例1后，就引导学生总结出混合运算的顺序规则：在没有括号的算式里，有乘、除法和加、减法，要先算乘、除法，再算加、减法。

图1

接着教学“试一试”。“试一试”是计算150+120÷6×5，教材旁白：要先算什么呢？学生根据例1得出的运算顺序规则，容易说出：在没有括号的算式里，有乘、除法和加、减法，要先算乘、除法，再算加、减法。可是，紧接此后，教材又要求学生归纳和总结没有括号的混合运算式题的运算顺序。明明教师在教学例1时，已经得出了混合运算的顺序规则，并且在“试一试”时又用到了这一规则，为什么教材这时又要求学生归纳和总结这一规则？教师这样教是不是逻辑混乱、循环论证？评课时笔者提出这一问题，在场的三十多位教师无人答得上来。

无独有偶，在另一次“同课异构”教学中，笔者又听了两节这样的课，其中一节课同上所教。另一节课则在上课伊始，就通过复习三年级的混合运算顺序，诸如200+100×5，200-100÷5等，引导学生得出上述混合运算的顺序规则。接着，就让学生直接运用这一规则进行计算。那么，执教者是否思考过教材编排的序及其逻辑联系，究竟怎样让学生理解规则内在的“理”？

二、找序

图2

苏教版教材“混合运算”一词首次出现是在三年级下册第四单元，用三道例题教学“混合运算”，例1见图2。教材联系学生非常熟悉的购物情境，引导学生根据所求问题，列出数量关系式：3本笔记本的钱+1个书包的钱=一共要用的钱，或1个书包的钱+3本笔记本的钱=一共要用的钱。数量关系式极为重要，因为它指导着学生列分步算式和综合算式及如何对综合算式5×3+20或20+5×3进行计算，明确先算什么，再算什么，知道两式都要先算乘法。在此基础上，教师再引导学生归纳和总结出一条有关混合运算顺序的规则：算式中有乘法和加、减法，应先算乘法。值得提出的是，混合计算只涉及三个数。

接着呈现例2（见图3）。同样在依据数量关系的基础上，列出综合算式，并得出另一条有关混合运算顺序的规则，即算式中有除法和加、减法，应先算除法。最后例3教学有括号的算式的运算顺序，列出综合算式，并得出第三条混合运算顺序的规则：算式里有括号，应先算括号里面的。

图3

可见，三年级下册教材并未归纳出“先乘除，后加减”这一规则，也没有把乘、除法与加法混合在一起，或把乘、除法与减法混合在一起，更没有把乘、除法与加、减法同时混合在一起。执教老师课前没有理清教材编写的“序”，想当然地超前了，把新知当成已知看待了。

苏教版教材是在四年级上册才进行综合的（图1）。教材用一道例题引入四个数的混合计算，如12×3+15×4，借助数量关系式，说明乘、加法混合仍然要先算乘法，再算加法，与三年级一样。这时，教材并未要求学生归纳出混合运算的顺序规则。接着，通过“试一试”，即计算150+120÷6×5，把乘、除法与加法混合在一起，并引导学生思考：要先算什么呢？引导学生根据已有的知识和经验，类推出要先算乘、除法，再算加法，而这里乘、除法混合在一起，要按照从左往右的顺序进行计算。在此基础上，再引导学生归纳和总结出混合运算的顺序规则：在没有括号的算式里，有乘、除法和加、减法，要先算乘、除法，再算加、减法，即“先乘除，后加减”，原来如此！

三、明理

没有括号的四个数的混合运算该怎么教，才能体现教材编写的“序”，又能让学生理解规则内在的“理”呢？请看以下教学片段。

【教学片段】

1.激活已知

分别说出下列各式的运算顺序：200-100+50，200÷100×50，200+100×50，200-100÷50。

待学生准确说出顺序后，引导其回忆：算式中只有加、减法或只有乘、除法，要按从左往右的顺序进行计算；算式中有乘法和加、减法，应先算乘法；算式中有除法和加、减法，应先算除法。

［设计意图：课始复习三个数的混合运算有利于激活学生已有的知识和经验，为学习新知奠基。］

2.探明算理

我们知道了无括号的三个数的混合运算的计算顺序，那么，如果是四个数的混合运算，该按怎样的顺序进行计算呢？今天这节课我们就研究这个问题。

（1）出示主题图（如图1），引导学生说出条件和问题。

（2）引导学生依据事理说出并板贴下列数量关系式：3副中国象棋的价钱+4副围棋的价钱=一共要付的钱；4副围棋的价钱+3副中国象棋的价钱=一共要付的钱。请大家算一算。

（3）交流反馈。

①展示分步列式，并让学生依据上述数量关系式说出理由（过程略）。

②有列综合算式的吗？根据学生的交流，教师板书12×3+15×4，15×4+12×3。让学生思考：在计算12×3+15×4时，应该先算什么，再算什么，最后算什么，教师板书12×3+15×4=36+15×4=36+60=96（元）。同样，在计算15×4+12×3时，学生思考：应先算什么，再算什么，最后算什么，教师板书15×4+12×3=60+12×3=60+36=96（元）。有学生把两个乘法算式同时计算，即12×3+15×4=36+60=96（元），则让学生通过对比感悟到：在算3副中国象棋的价钱时，并不影响算4副围棋的价钱，而且这样计算更简洁。

接着，教师让学生观察算式15+15+15+15+12+12+12，思考：如果要求这7个数的和，你认为怎样算快些？学生普遍认为，先把4个15相加的和与3个12相加的和分别算出来，再把这两个和相加，这样快。于是，教师板书15+15+15+15+12+12+12=15×4+12×3。让学生对比等式左右，明确在计算15×4+12×3时，应先算相同加数的和，即乘法。

笔者顺势引导学生把15+15+15+15-12-12-12改写成15+15+15+15-（12+12+12）=15×4-12×3。学生发现，在计算15×4-12×3时，同样应先算乘法，再算减法，即15+15+15+15-12-12-12=15×4-12×3=60-36=24。

（4）小结。观察12×3+15×4、15×4+12×3、15×4-12×3的计算顺序，说说算式中有乘法和加、减法时，应先算什么，从而总结得出规则：算式中有乘法和加、减法，应先算乘法，与三个数的混合运算一样。

［设计意图：从现实生活中找原型，紧扣数量关系式，引导学生分步列式和列综合算式，同时依据数量关系式确定和理解混合运算的顺序。在此基础上，为了让学生从算理上进一步理解混合运算的顺序规则，让学生观察等式15+15+15+15+12+12+12=15×4+12×3，以及15+15+15+15-12-12-12=15×4-12×3，让学生从算理上明确先算乘法的合理性。］

（5）研究除法。买3副同样的中国象棋要用36元，买4副同样的围棋要用60元。每副围棋比每副中国象棋贵多少元？你能列出综合算式并算一算吗？

学生展示综合算式并述理，教师板书60÷4-36÷3。学生思考应先算什么，再算什么，最后算什么。因为在算每副围棋的价钱时，并不影响算每副中国象棋的价钱，所以两个除法可以同时算，即60÷4-36÷3=15-12=3（元）。由此引导学生发现：算式中有除法和加、减法，要先算除法。让学生练习计算60÷4+36÷3（略）。

［设计意图：例题列举了乘加的例子，没有列举乘减和除加（减）的例子，对小学生来说，要总结和概括混合运算的顺序规则需要较为全面的例子。］

（6）小结规则。引导学生回顾15×4+12×3，15×4-12×3，60÷4-36÷3和60÷4+36÷3的计算过程，说说它们在运算顺序上有何相同点，从而总结和概括出：算式中有乘法和加、减法，要先算乘法；算式中有除法和加、减法，要先算除法。

3.迁移运用

出示“试一试”。计算240+60÷6×5，引导学生整体观察和思考：应先算什么？学生说：根据前面的学习可知，乘法与加、减法在一起时，要先算乘法；除法与加、减法在一起时，要先算除法。因此这题应先算60÷6×5，再算加法，但这题乘、除法混在一起了，在先算60÷6×5时，要按照从左到右的顺序进行计算。因此，这题应先算除法，再算乘法，最后算加法。

学生计算并交流，教师要注意纠正学生的三种错误，并找出出错原因，让学生感悟到运算顺序的重要性。教师板书规范的计算格式（略）。让学生练习计算240-60÷6×5（略）。

观察240+60÷6×5和240-60÷6×5的计算过程，引导学生思考：一个算式里既有乘、除法，又有加、减法，应先算什么，再算什么？从而得出整数四则混合运算的顺序规则（略），这就是四个数的混合计算在没有括号时的运算顺序规则。

［设计意图：在学生得出乘加（减）、除加（减）算式的计算顺序基础上，让学生计算“试一试”，并说理，旨在让学生得出：在计算乘、除法与加、减法混合算式时，要先算乘、除法，再算加、减法。这样，学生对规则不但知其然，而且知其所以然。］

4.巩固练习（略）

教学中把三、四年级的教材有机地衔接起来，学生可以清晰地看到知识发展的脉络，感受到教材编写的“序”，同时学生能顺利地运用已知探明新知，把新知牢牢地“嫁接”在已知这根“桩”上，形成一棵“知识树”。这就是课标所说的：“数学知识的教学，要注重知识的‘生长点’与‘延伸点’，把每堂课教学的知识置于整体知识的体系中，注重知识的结构和体系，处理好局部知识与整体知识的关系，引导学生感受数学的整体性……”