核心素养视角下的教材研究与教学设计——以“一元一次方程”为例

□王亚权

（杭州文澜中学，浙江杭州 310015）

我国高中数学课程标准修订组给出数学核心素养的六个要素是数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析.目前，涉及初中学生数学核心素养的研究文章相对偏少，在日常教学中思考落实新理念的方法，在数学知识的教学中寻找发展学生核心素养的途径[1]的课例则更少.本文以浙教版义务教育教科书《数学》七年级上册“5.1一元一次方程”为例，试图阐释一线教师在核心素养视角下的教材研究和教学设计，以期核心素养这棵大树能在日常教学中落地生根.

一、教材分析

（一）地位作用

一元一次方程是初中阶段的一个重要内容，是学生在学习代数式的有关知识的基础上进一步学习其他方程知识的基础.本节课是一元一次方程的起始课、概念课，它为学生学习一元一次方程的解法、列方程解应用题作准备.

（二）教学内容

教材在“合作学习”栏目中安排了3个小问题，让学生根据题意列出方程，通过对这三个方程的分析，引出一元一次方程的概念以及一元一次方程解的概念，并对其中一个方程通过列表尝试的方法找到该方程的解.最后以“课内练习”的方式让学生学会如何判别一个数是不是已知方程的解等.

（三）设计意图

由于学生在小学阶段对方程的概念已经有了初步了解，并且能解一些简单的方程、列简单的一元一次方程解决问题.从表面上看，本节课似乎起一个承上启下的作用.细细品味，不难揣摩教材的编写意图.

1.引领教学方式、学习方式的转变

教材在回顾方程的基础上设置了一个“合作学习”栏目，让学生经历一元一次方程这一概念的形成过程.同时，以“问题情境—建立模型—解释与应用”作为课程内容的呈现方式，一方面是引导学生关注数学与现实的联系，这也是新课程下的教科书特色以及学生学习过程的模式之一[2]；另一方面是试图以教科书为载体促进教师改变固有的教学方式，从而改变学生的学习方式.

2.引导学生体验尝试检验的方法

“合作学习”栏目中的问题（3）：小强、小杰、张明参加投篮比赛，每人投了20次.小强投进10个球，小杰比张明多投进2个，三人平均每人投进14个球.问小杰和张明各投进多少个？设张明投进x个，可列方程不妨依次取x的值为11，12，13，14，15，16，17，代入方程左边的代数式，求出代数式的值（见表1）.

表1

由表1知，当x=15时所以x=15就是一元一次方程的解.

教材为什么要设计这样的一个过程让学生体会方程的解？如果按这样的方式设计教学，课堂上势必会花费比较多的时间，有没有必要？

或许，教材中下面这段文字就是对这个问题的最好解释：“对于一些较简单的方程，可以确定未知数的一个较小的取值范围，逐一将这些可取的值代入方程进行尝试检验，能使方程两边相等的未知数的值就是方程的解.这种尝试检验的方法是解决问题的一种重要的方法.”

二、教学设计

【片段一】

师：在小学里我们已经学过，方程是指含有未知数的等式.你能根据下列条件分别列出相应的方程吗？

1.初一（2）班同学在文澜中学第55届田径运动会中顽强拼搏，屡创佳绩，获得总分95分、年级第二名的好成绩.

（1）已知每块金牌得9分，（2）班同学除金牌外的其余奖牌共得了59分，问初一（2）班同学获得了几块金牌？若设初一（2）班同学获得了x块金牌，可列出方程：___________.

（2）若金牌比银牌多1块，除金牌、银牌外其余奖牌共得38分，已知每块金牌得9分，每块银牌得7分.问初一（2）班同学获得了几块金牌？若设初一（2）班同学获得了x块金牌，可列出方程：__________.

（3）除金牌、银牌外其余名次共得38分，已知每块金牌得9分，每块银牌得7分，若设初一（2）班同学获得x块金牌，y块银牌，可列出方程：__________.

2.运动会入场式所用的旗帜是面积为4平方米的长方形，已知长比宽多0.5米，设旗帜的宽为x米，可列出方程：__________.

3.在教工运动项目“勇挑重担”比赛中，四位教师分别抬了校长和牛雨涵同学，牛雨涵同学的体重是校长体重的一半还少4kg，他们两人的平均体重恰好是58kg.设校长的体重为xkg，则牛雨涵同学的体重可表示为_____kg，可列出方程：___________.

问题1：列方程与列算式有什么不同？

问题2：你能对列出的方程按一定的标准进行分类吗？

问题3：什么样的方程叫作一元一次方程？

方程这个名词，最早见于我国古代算书《九章算术》.《九章算术》是在我国东汉初年编定的一部现有传本的、最古老的中国数学经典著作.书中收集了246个应用问题和其他问题的解法，分为九章，“方程”是其中的一章.其中解方程组的方法，不但是我国古代数学中的伟大成就，而且是世界数学史上一份非常宝贵的遗产.

【设计意图】以学生原有的知识经验为基础，以学校刚刚举行的运动会为情境，设计一串列方程的实际问题，特别是教工项目的“勇挑重担”是运动会的一个高潮，学生更是记忆犹新，在课的起始就能引起学生的注意和兴趣.通过学生所列的方程以及不同的分类方法，让学生经历一元一次方程概念的形成过程，加深对概念的理解.最后通过数学史的介绍，激发学生的学习兴趣，增强自豪感、荣誉感等教育.

【片段二】

师：使一元一次方程左右两边的值相等的未知数的值叫作一元一次方程的解.你能根据方 程求 出 校 长 的 体重吗？

小组合作：先独立思考下列问题，再小组合作交流.问题1：你估计校长的体重在什么范围？问题2：在表2中，可以选哪些x的值进行尝试？能找到方程的解吗？

表2

问题3：这个方程的解唯一吗？你判断的依据是什么？

问题4：你们小组还有什么发现？

【设计意图】70岁的老校长是最受学生欢迎的一位长者，让学生通过猜校长的体重来理解方程解的概念，既生动又有趣.以小组合作的方式思考四个问题，意在引导学生经历尝试检验的过程和方法.问题1是想让学生明白，在估计代数式“”的值时，首先要对选取的x的值有一个大致的范围，范围越小，越能节省尝试的时间；问题2是想让学生明白，列表是一种常用的方法，简单、有效；问题3是想让学生明白，一元一次方程的解通常只有一个，可以通过观察表格中数据的排列规律来发现代数式”的值是随x的增大而增大的，渗透变化的思想及函数的对应思想；问题4是想引导学生学会观察、学会思考，看学生在小组合作的过程中有没有创新思维、独特视角.

三、让数学核心素养落地生根

核心素养和数学学科核心素养都是研究人的素养问题，必然有许多共性，但数学作为一门学科，在学生核心素养的发展中势必有其学科的独特性和不可替代性.

（一）发展学生的数学核心素养，应激发学生的数学学习热情

一元一次方程是学生在小学阶段就已经接触过的内容，怎样让学生感到既熟悉又新鲜呢？从上述教学设计的“片段一”中我们看到，执教者从本校运动会的奖牌数引入，展示本班学生在运动会上的照片，既有效地激发学生的学习兴趣，又很好地引入本节课的学习内容，并把这个情景贯穿整节课的始终.特别是以“猜校长的体重”进行方程解的概念教学，极大地调动了学生的参与热情，能使学生在愉悦的心情中完成本节课的学习.这是提高学生学习数学兴趣、增强学好数学信心的一种策略，也是满足学生对数学的基本需要.数学素养只能在学生所经历的数学活动中产生，并在真实情境中表现出来，数学素养的生成依赖于学生在数学活动中对数学的体验、感悟和反思[3].

（二）发展学生的数学核心素养，学习过程要体现数学味

数学概念教学既是重点也是难点.像一元一次方程的概念，执教者从实际问题引入，让学生参与对等式、方程的分类，归纳共性，形成概念，进一步利用不同的方程进行辨析，加深学生对一元一次方程的本质认识，让学生经历一元一次方程的形成过程.本节内容中，一元一次方程的解也是一个重要的概念，执教者利用“哪一个数值是校长的体重”来让学生理解概念，进一步用不同的数值来判断是不是方程的解，凸显数学“解”的本质.根据代数式的值随x的变化规律来判断一元一次方程解的唯一性，能让人从中领略浓浓的数学味.

数学课除了要有数学味，还应该有数学的文化！在一元一次方程的概念教学中，适时地介绍《九章算术》的内容，适时地渗透一点数学史，不仅让人感觉到自然，而且增加了浓浓的爱国情怀教育.

（三）发展学生的数学核心素养，要激发学生的探究意识，培养探究精神和探究能力

对于方程的解的问题，教材是通过“列表—尝试取值—代入求值—得解”的过程，发现其解为x=15.有教师认为，既然学生在小学阶段已经学习了简单一元一次方程的解法，现在又已经学习了代数式的概念及整式的加减运算，何不直接教学生解方程？省略了这个列表尝试的过程，省时省力，何乐而不为？

具有这种想法的教师其实不在少数，那么我们该如何认识和处理这个问题呢？笔者以为，此时我们需要思考两个问题：一是教材这样编写的意图是什么？二是本节课的教学目标如何定位？

研读《义务教育数学课程标准（2011年版）》和浙教版教材我们都可发现，无论是一元一次方程还是二元一次方程组，学生第一次学习时都采用列表尝试的方法来寻找其解.这不由使我们联想到生活，当我们遇到一个从未遇到过的新问题时，一般都会通过尝试去寻找其解决的方法，这是一种本能！学习也不例外[4].人在成长过程中，难免会遇到各种无法预测的新问题，学校教育需要为学生今后的发展打好基础，这恰恰是发展学生核心素养所必需的！如果我们能站在这样的高度去理解教材、设计教学，数学教学落实核心素养的问题就必然能落到实处.

（四）发展学生的数学核心素养，要挖掘教材背后隐含的数学原理和方法

从表面上看，采用列表尝试的方法，一方面试图以教科书为载体促进教师改变固有的教学方式，从而改变学生的学习方式；另一方面试图体现尝试的过程，让学生经历如何尝试、感受哪个数值才是方程的解的过程.其背后我们又能挖掘出哪些数学的原理和方法呢？

1.如何合理选取字母x的取值范围

教材上的处理方式是“不妨依次取x的值为11，12，13，14，15，16，17”.教学时我们必然要考虑学生的问题：为什么要取这些数？你是怎么想到的？在上述“教学设计”中，执教者把背景设计成“猜校长的体重”问题，列出方程，除了兴趣因素外，学生对校长的体重范围估计有更大的想象空间，小到70kg，大到90kg，尝试的意味更浓.

2.为什么所列方程的解只有一个

我们将表1中的12，14分别写成（如表3所示），可以直观发现，代数式的值随着x的增大而增大.即当x＜15时，代数式的值越来越小；当x＞15时，代数式的值越来越大，所以方程的解只有一个.

表3

3.渗透函数思想

对初一的学生虽不宜过早提及变量、函数、对应等概念，但利用教材提供的素材，有意识地进行自然渗透，则是教师研究教材、研究学生的能力体现，因为教材隐含的素养是需要教师的研究、挖掘的.学科思维的培养需要有“长度”的教学，更需要有“深度”的教学[5].

学生发展核心素养是21世纪国内外基础教育共同关注的热点专题.数学教学如何为学生核心素养的发展做出自己的贡献？作为一线教师，就是要在教学目标、学习内容、问题情境、活动过程、教学媒体、学习评价等方面都要加强落实核心素养的思考，就是要立足学生的发展，研究教材，设计教学，改变传统的灌输式教学方式和被动式学习方式，培育基本数学素养，以满足学生终身发展和社会发展的需要 .

［1］章建跃.树立课程意识 落实核心素养［J］.数学通报，2016（5）：1-4.

［2］顾继玲.关于数学教材内容的选择与组织［J］.数学通报，2017（2）：1-4.

［3］康世刚，宋乃庆.论数学素养的内涵及特征［J］.数学通报，2015（3）：8-11.

［4］王亚权.探索从尝试开始［J］.数学通报，2013（2）：20-24.

［5］殷容仪.循序渐进的教学是培养学科核心素养的有效途径［J］.数学通报，2017（1）：14-16.