基于本原问题的数学题组设计

□高建成

（杭州市余杭区教育局教研室，浙江杭州 311100）

本原问题从学科教学的角度可理解为，哪些问题反映了该学习主题中最为原始、朴素、本质的观念、思想和方法.一般地，以本原问题为蓝本并加以变化、组合形成的系列问题称为题组[1].通过例、习题组合、变式，让学生在题组变化中找到不变的本原、在题组变化中发现变化的规律，从而促进学生数学的思考与内化，提升解决问题的能力.基于此，从课堂教学实践来看，很多一线教师在尝试进行题组教学，但他们对为什么进行题组设计，题组设计中组合些什么以及如何结合具体教学内容构造题组等问题并不清楚，本文将就这些问题进行探讨.

一、为什么进行题组设计？

德国M.瓦根舍因和克拉夫基等范例教学论者认为，要克服传统教学的弊端，就要重构教学内容，选择学科材料中最典型的材料，形成认识的稠密区.显然，在数学知识的稠密区里，数学的核心知识、方法、思想迅速汇集、交融，学生通过对这个稠密区的探究、发现、思考，逐渐形成一个整体的认识结构，达到把握数学本质的目的.也就是说学生通过数学题组学习，来掌握一般的数学原理和方法，掌握同一类知识的规律，举一反三，获得独立思考、独立解决问题的数学方法.

题组教学就是要基于本原问题，服务于教学目标，组合而形成一个认识的稠密区.教材中可供进行题组教学的材料是多种多样的，对于同一内容，可以进行各式各样的变化，题组的设计总是围绕一个中心，有目的地进行，而这一中心和目的或是理解某一概念，或是用来解释某一法则，证明某一性质，领悟某种思维方法等.

例如，在学习平方差公式=a2-b2时，基于巩固熟练的目的可设计题组一：=_____；基于揭示公式的结构特征的目的，可设计题组二：在下列空格横线上填上适当的数或字母，使其可以用平方差公式计算，并写出计 算 结 果 ：；基于思想方法的目的可设计题组三：基于运用的目的，可设计题组四：99×101=_____，998×1002=____，一块边长为a的正方形土地，将一组对边减少b，一组对边增加b(b＜a)，则这块地的面积如何变化？

对于不同的内容，组合的形式和目的也常常不同，例如，方程、不等式、函数是一个彼此联系、可以相互转化的整体，为提高学生对此的认识，在教学中，可通过解法变式、组合进行沟通.

二、题组设计中组合什么？

课堂教学实践中的问题设计，有时不能深刻分析哪些是本质特征，哪些是非本质特征，哪些是教学重点，哪些是教学难点，仅仅根据已有的教学经验作问题的组合，往往使得“组合什么”“不组合什么”具有很强的随意性，表现为随意变换问题的条件、结论等.

从一般意义上说，组合是相对于某种范式（即数学教材中具体的数学思维成果，含基本知识、知识结构、典型问题、思维模式等）的变化形式，就是不断变更问题的情境或改变思维的角度.组合的内涵似乎透露这样的理念：无论是对事物的认识还是概念的获得都涉及一个“变”字——“无关特征或非本质特征的变化”.

例如，用十字相乘法因式分解x2+4x+3，其中字母x，数字4，3都是该问题的非本质属性，可以随意进行变化，但这些对问题的本质影响不大.这一问题的本质属性是式子的结构特征：式子都可以表达为x2+( )a+b x+ab.对问题进行组合变化，常常就是对某一属性加以变化，如对字母x加以变化，题组可设计为：等；若对数字1，4，3加以考虑，题组可设计为2x2+x-3，3x2+11x-4等；为增加难度，两者也可同时组合.还可以从问题的呈现形式上加以考虑，如改为开放性问题，为二次三项式x2+4x+___补上常数项（整数），使其可以用十字相乘法因式分解，这就开始涉及式子的结构特征问题了，当然还可进一步发展，在式子x2+4x+___空格处填上适当的数，使其可以在实数范围内因式分解.

由此看来，对问题进行组合，首先要能深刻分析问题的“属性”，并在此基础上结合教学的重点、难点，确立“组合点”.但我们必须意识到“不变量”与“不变性”才是组合的本质特征.

三、怎样进行题组设计？

荷兰数学教育家费赖登塔尔的再创造学习理论认为，数学学习是学生本人把要学的东西去发现或再创造出来.用再创造的方法去进行教学，而创造来源于问题的提出.教师在根据学生认知的心理水平和原有的知识经验基础上，把习题内容创造性地加工，给学生构造、组合一个思维探索的空间，帮助学生去进行再创造.所以，问题的组合应该符合下面要求.

首先，学生在已有的认知结构中有解决习题的知识基础.（能学）

其次，习题中呈现的问题以已有的认知，有内涵与外延关系、上位与下位的关系、层次的逻辑关系，从而使得知识更加扩充、深入，更具代表性.（该学）

最后，让学生与生活、热点问题、数学的通性问题去联系，从而产生新的问题，对知识进一步的掌握、理解.（想学）

基于以上认识，对如何构造数学题组很有启发：

（1）数学题组是针对本原问题而言的，由此可见，首先要确定合适的本原问题.

（2）对问题系统进行分析，确定核心要素.对问题结构进行分析，确定组合的层次.

（3）对问题进行再创造.如改变例题、习题的条件或结论，如改变数字、改变符号；或将问题通过特殊化、一般化等方式加以推广或拓展等；或交换（部分）条件与（部分）结论；或改变题目的背景，改变问题的题型（变封闭题型为开放题型）等.

例如，针对二次函数这一本原问题，在许多方面有着广泛的运用，为提高学生对这部分内容的认识水平和迁移能力，可通过下列组合设计问题.

本原问题：求二次函数y=-x2+8x-10的顶点坐标.

这是一道基本也是典型的二次函数问题.结合问题属性和呈现方式可进行一系列变式.

改变问法，可得：

问题1：求二次函数y=-x2+8x-10的最大值.

改变抛物线解析式，即抛物线不是“标准式”，而是“非标准式”那又会怎样？

问题2：求二次函数y=-x2+8x的顶点坐标.

改变问题的隐含条件，即自变量x的取值范围不是实数，而是实数的子集又会怎样？

问题3：求二次函数y=-x2+8x的最大值（3≤x≤5）.

改变问题的背景，可得：

问题4：一个矩形的周长为16，求该矩形面积的最大值.

改变问题的解法，可得：

问题5：你能用与上述解法不同的方法解答上述问题吗？

如果问题的条件不是以直接方式给出，而是以另一方式呈现又会怎样？

问题6：一个周长为定长的矩形ABCD，已知当AB=2或AB=4时，矩形的面积相等.由此你能确定该矩形的周长吗？你能确定矩形面积的最大值吗？如果可以，请直接写出结果.

交换条件和结论，可得：

问题7：若二次函数的顶点坐标为（4，6），写出符合条件的一个二次函数解析式.

如果自变量不是连续变量，而是离散变量，那又怎样？

问题8：已知关于正整数n的二次函数y=n2+an（a为实常数），当且仅当n=5时，y有最小值，则实数a的取值范围是_____.

如果是含参数问题，变化之中又有哪些不变性呢？

问题9：设函数y=（x-1）[（k-1）x+（k-3）]（k是常数）.①请你在同一直角坐标系中画出当k取0，1和2时的函数图象；②根据图象，写出你发现的一条结论.

通过这一题组的设计，可以让学生感受到这类问题的本质.同时，学生通过问题跟进式的探究学习，可以为课堂节省很多时间，使得探究不再是难事，进一步提高课堂效率.让学生参与问题的编拟，体验发现问题、提出问题及解决问题的过程，理解这类问题的实质，从而进行“再创造”.

教师能够找到一个本原问题进行巧妙引导，不断地进行问题组合，把学生的思路引向问题的拓展点，并在拓展点处设问，挖掘思维的深度，这样学生思维的条理性和创造性就得以有效培养 .

［1］陈锋，薛莺.例谈中考复习课的题组教学［J］.中学数学教学参考（中旬），2017（6）：51.